第20卷第2期2003年4月　计算力学学报　ChineseJournalofComputationalMechanicsVol.20,No.2April2003

文章编号:1007-4708(2003)02-0189-06齿轮接触有限元分析

杨生华(煤炭科学研究总院上海分院,上海200030)摘　要:通过接触仿真分析研究了通用接触单元在轮齿变形和接触应力计算中的应用。建立了一对齿轮接触仿真分析的模型,并使用新的接触单元法计算了轮齿变形和接触应力,与赫兹理论比较,同时也计算了摩擦力对接触应力的影响。计算分析了单元离散、几何、边界范围与加载或约束处理方式的误差,建立了一个计算轮齿变形和接触应力的标准,说明了新的接触单元法的精确性、有效性和可靠性。

关键词:接触单元;轮齿变形;接触应力;计算标准;仿真分析中图分类号:TP391 文献标识码:A

收稿日期:2001-04-28;修改稿收到日期:2002-06-24.基金项目:上海自然科学基金资助项目.作者简介:杨生华(1963-),男,硕士生,工程师.

1　引　言计算接触非线性问题有许多方法,例如罚函数法、拉格朗日乘子法等,其中罚函数法由于其经济和方便而得到广泛使用。过去使用点-点接触单元,求解接触问题,对于象齿轮类接触,模型构造很麻烦,计算结果精度和准确性很难保证。随着计算机和有限元法的发展,新的接触单元法产生精确的几何模型,自动划分网格,自适应求解。新的单元计算精度更高,更有效,功能更强大。其中接触单元能非常有效地求解接触非线性问题,新的通用接触单元(包括点-面和面-面单元)特别适合于计算齿轮接触问题。在微机上能实现齿轮接触仿真分析,大大地促进了齿轮CAE的形成和发展。轮齿变形的有限元分析20世纪70年代已开始,但仅仅计算挠曲变形。接触变形和接触应力的有限元分析在20世纪90年代才真正开始。总之,过去的计算是基于试验的计算方法,计算方法是简化的、近似的,不够精确更不够可靠;没有使用有限元法研究轮齿接触变形和应力,并说明与赫兹变形和应力之间的差别,没有分析计算误差,没有考虑齿轮本体变形对轮齿变形的影响,没有计算摩擦力对接触应力的影响。文中使用ANSYS大型通用有限元分析软件,在个人计算机上建立齿轮接触仿真分析模型。通过两圆柱赫兹接触变形和应力验证其有效性和精度,分析计算了一对直齿轮的轮齿变形和接触应力,说明了新的接触单元法的精确性、有效性和可靠性。建立了一个计算轮齿变形和接触应力的标准或基准,给力学研究和机械设计人员一个参考。2　通用接触单元的赫兹计算为了检验通用接触单元的有效性和精确性,赫兹计算验证是必要的。两无限长圆柱有限元计算网格模型如图1所示。结构单元是具有附加形状函数的四节点等参单元(一次单元)。图中接触处网格边长为二十分之一接触半宽,该模型节点为7444,单元为7280(其中接触单元为80个点-面单元)。计算参数和结果如表1所示,理论结果按公式(1)-(4)计算[1]。计算结果表明:有限元计算结果和理论

计算结果一致,两圆柱变形计算误差仅分别为0.08%和0.045%。注意到公式(2)、(4)是按赫兹接触半无限空间推导的公式,因而是理论近似的(变形误差为1.7%、0.6%,应力误差为0.6%、0.4%),在接触点不远处一点的变形和应力与有限元计算结果基本一致,有限元计算结果略大于公式(2)和(4)与理论一致[1]。表1　两无限长圆柱接触分析Tab.1　Twocylindercontactanalysis

参数半径距离理论计算有限元计算R(mm)d(mm)WH(m)WdH(m)fmax(N/mm2)WH(m)WdH(m)fmax(N/mm2)圆柱138.0737.1986.1513.898229.5786.1463.966230.85圆柱263.6706.0056.7103.701229.5786.7073.722230.28

注:弹性模量:E1=E2=2.06×105N/mm2,泊松比:ν1=ν2=0.3,kn=10E1

表2　有摩擦接触应力分析(单位:N/mm2)Tab.2　Contactstressanalysiswithfriction(Unit:N/mm2)摩擦系数00(0.001)1(10)20.1(0.001)1(42)20.2(0.05)1(93)20.2(0.001)1(14)2

计算应力赫兹应力fmax(误差)3误差fmax(误差)3误差fmax(误差)3误差fmax(误差)3误差圆柱1229.578231.07(3.88)1.0%234.58(4.04)2.2%245.19(3.32)6.8%245.55(0.42)7.0%圆柱2229.578230.40(3.93)0.5%233.82(4.15)1.8%244.53(3.22)6.5%244.93(0.36)6.7%

注:上标1为力的计算收敛误差,上标2为迭代次数,上标3为误差估计[4]

罚参数大小与计算效率和精度有关,罚参数越小计算误差越大[2],但罚参数太大计算效率降低,而且由于单元离散本身有误差,计算精度不会有明显提高。因此罚参数有最佳范围,通常取1-10倍接触体的弹性模量。网格密度也与计算效率和精度有关,网格越密计算精度越高而效率降低。使用一次单元时摩擦力使得计算效率明显减低,需要更多的迭代次数,摩擦系数越大效率和精度越低。表2是摩擦力对接触应力影响计算,计算模型网格密度接触处只有图1中一半,但需要另一半的对称模型。无摩擦时,迭代次数为10,摩擦系数为0.1时,力的收敛误差为0.001,迭代次数为42;摩擦系数0.2时,收敛误差为0.05,迭代次数为93。摩擦系数大于0.2时,计算难于进行。而使用同样网格二次8节点等参单元和面—面接触单元,能有效计算有摩擦接触问题。当摩擦系数为0.2时,收敛误差为0.001,迭代次数为14。

a2=4PRπE*(1)p0=2Pπa

其中1E*=1-v21E1+1-v22E1,　1R=1R1+1R2

WdiH=P(1-v2i)πE*2ln(2dia)-vi1-vi

(2)

WH=P(1-v2i)πE*2ln(4Ri

a)-1(3)

fmax=0.3003p0(4)a是赫兹接触半宽,p0是最大赫兹压力,WH是接触变形,fmax是最大赫兹应力,d、R如图2。

3　轮齿变形和接触应力的计算实例3.1　齿轮参数表1是计算轮齿变形和接触应力的一对齿轮参数,所有参数通过精确计算,根据功率和转速计算出单齿啮合时额定载荷沿齿向分布力大小为F=386.5N/mm。

表3　计算一对齿形参数Tab.3　Parameterofapairofgear摸数压力角齿数变位系数顶圆半径齿数变位系数顶圆半径齿宽中心距功率转速mTZ1X1ra1Z2X2ra2bAP(kw)n820°290.1672125.25400.1687169.2634278.6060400

注:E=2.06×105N/mm2,ν=0.3,刀具圆角半径d=0.38m,刀具齿顶高hao=1.25m.

190计算力学学报　第20卷　3.2　轮齿变形和接触应力的有限元计算模型轮齿变形包括挠曲变形和接触变形及基础变形:轮齿挠曲变形计算模型的边界范围通常取一齿宽,计算的变形是轮齿对称中心点G的载荷方向(齿面法向)的变形;轮齿接触变形是载荷作用点至轮齿对称点之间的变形;轮齿基础变形为轮齿根部的弹性倾斜对轮齿变形的影响。为了计算方便,把基础变形包括在挠曲变形中。轮齿挠曲变形的单齿有限元模型如图2所示,边界范围为PQRS(图中为二齿宽,轮缘厚度1.5m)。过去轮齿接触变形用赫兹接触理论公式近似计算,但轮齿接触变形和赫兹接触变形之间存在多大误差,考虑轮齿基础变形影响的轮齿挠曲变形有限元计算的边界范围应该取多大,需要建立一对啮合齿轮接触有限元仿真分析模型,图3是三齿啮合接触计算模型。接触分析还能计算接触应力和应力分布,并能考虑摩擦力的影响,计算齿轮接触应力与赫兹接触应力之间的误差。3.3　计算模型的网格对齿轮接触分析来说,为了有效地生成网格,模型划分为接触区域,接触轮齿和非接触轮齿三个部分,接触单元最后再产生。由于自动生成的接触单元较多,需要控制接触面和目标面范围,接触范围一般不超过两倍的赫兹接触长度。图4是三齿接触一个模型网格,为了得到精确的变形,接触轮齿的相邻轮齿的网格也需要适当加密。为了得到精确的接触应力,接触处网格要更密些,通常单元边长为赫兹半宽的十分之一或更小。图4中接触处单元边长为赫兹半宽的十分之一,接触区半径为赫兹半宽的1.5倍,图中右下角为接触区网格放大图,该模型总节点数5632,单元数5325,其中接触单元为60个。对整轮接触仿真模型,接触模型的其余部分(即两齿轮本体)可用超单元表示[3]。3.4　轮齿变形分开计算和仿真分析结果比较轮齿变形的计算方法有两种:一种是分开计算,即轮齿的挠曲变形按图2模型计算,接触变形按公式(2)计算;第二种方法,建立一对齿轮的啮合接触仿真分析模型,进行接触分析而得出轮齿变形。表4为分开计算时和仿真分析计算结果,仿真分析时三齿接触网格模型如图4,整轮啮合接触计算模型两轮本体都为实心,两轮本体内圆直径(轴径)都为90mm。分开计算时轮齿挠曲变形单齿模型的边界范围PQRS相对两个仿真模型分别取二齿宽和三齿宽。仿真计算结果表明:接触变形按赫兹变形公式计算有误差,由于齿轮接触已经是非赫兹接触,按照公式(2)计算有-7%左右误差。单齿挠曲变形计算的误差来源于边界范围,轮齿挠曲变形边界范围PS、QR应在2～3齿宽之间,只要适当调整可以和仿真分析取得一致结果。轮齿变形受到齿轮本体变形的影响,局部和整轮仿真分析结果误差达-9.1%。3.5　轮齿接触应力仿真分析结果与赫兹应力计算比较轮齿接触应力计算方法也有两种:赫兹接触应力公式计算和有限元接触仿真分析计算。由于齿轮是渐开线轮齿接触,赫兹接触应力肯定是近似的,特别在有摩擦时,必然存在误差,而接触仿真分析能计算其误差大小。表5是有无摩擦接触时整轮仿真分析计算结果和赫兹接触应力比较,齿轮啮合时由于摩擦力造成接触力增加。由表中看出:齿轮实际接触应力比赫兹接触应力大,均超过5%。当摩擦系数从0提高到0.2时,赫兹接触应力误差达10%,而齿轮接触应力也提高5%以上,当载荷增加时赫兹接触应力误差也增加,3倍载荷时达10%,而且接触应力分布计算结果最大应力深度大于赫兹理论0.786a(a为赫兹接触半宽)。

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