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山东省潍坊市2018届高三一模考试数学(理)试题含答案

山东省潍坊市2018届高三下学期一模考试;数学(理)试题; 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()142i z i +=+,则z =( )A .3i -+B .32i -C .3i +D .1i + 2.已知集合{{}2,20A x x B x x x =<=-->,则A B ⋂=()A.{x x << B.{1x x -<<C.{}1x x <- D .{}12x x -<<3.若函数()x xf x a a -=-(0a >且1a ≠)在R 上为减函数,则函数()log 1a y x =-的图象可以是( )A .B .C .D .4.已知,x y 满足约束条件10330210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则函数z = )A .12 BC .1 D5.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ,已知()cos 2cos ,2,1b A c a B c a =-==,则ABC ∆的面积是( )A .12 B C .1 D 6.对于实数,a b ,定义一种新运算“⊗”:y a b =⊗,其运算原理如程序框图所示,则5324=⊗+⊗( )A .26B .32C .40D .46 7.若函数()()3log 2,0,0x x f x g x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数,则()()3f g -=( )A .3-B .2-C .1-D .08.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .20πB .24πC .28πD .32π 9.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为4π,其图象关于直线23x π=对称.给出下面四个结论:①函数()f x 在区间40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减;②将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称;③点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心;④函数()f x 在[],2ππ上的最大值为1.其中正确的是( )A .①②B .③④C .①③D .②④10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为( )A .甲B .乙C .丙D .丁11.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交曲线左支于,A B两点,2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形,且230AF B ∠=︒.若该双曲线的离心率为e ,则2e =( )A .11+ B .13+ C .16- D .19-12.函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,且()y f x =在[)0,+∞上单调递减.若[]1,3x ∈时,不等式()()()2ln 323ln 32f mx x f f x mx --≥-+-恒成立,则实数m 的取值范围为( )A .1ln 66,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .1ln 36,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .1ln 66,6e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .1ln 36,6e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上); 13. 实数,a b 满足2221a b +=,则ab 的最大值为 . 14.()(511x +-展开式中2x的系数为 . (用数字填写答案)15.已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ,若l 与圆()22:31C x y -+=相交所得弦长为,则a =.16.正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面边长为2,侧棱11AA =,P 为上底面1111A B C D 上的动点,给出下列四个结论:①若3PD =,则满足条件的P 点有且只有一个; ②若PD P 的轨迹是一段圆弧;③若//PD 平面1ACB ,则PD 与平面11ACC A④若//PD 平面1ACB ,则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得图形面积最大值为2512π.其中所有正确结论的序号为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知410S =,且139,,a a a 成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,14,2,45CC AB AC BAC ===∠=︒,点M 是棱1AA 上不同于1,A A 的动点.(1)证明:1BC B M ⊥;(2)若平面1MB C 把此棱拄分成体积相等的两部分,求此时二面角1M B C A --的余弦值. 19.某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数14μ=,标准差2σ=,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为X ,依据以下不等式评判(P 表示对应事件的概率): ①()0.6826P X μσμσ-<<+≥ ②()220.9544P X μσμσ-<<+≥ ③()330.9974P X μσμσ-<<+≥评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修;(2)将数据不在()2,2μσμσ-+内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为Y ,求Y 的分布列与数学期望EY .20.如图,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,左右顶点分别为,,A B P 为椭圆C上任一点(不与A B 、重合).已知12PF F ∆的内切圆半径的最大值为2C 的离心率(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 过点B 且垂直于x 轴,延长AP 交l 于点N ,以BN 为直径的圆交BP 于点M ,求证:O M N 、、三点共线.21.函数()()()sin ,1cos x x f x e x g x x x ==+.(1)求()f x 的单调区间;(2)对120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,使()()12f x g x m +≥成立,求实数m 的取值范围;(3)设()()2sin 2sin x h x f x n x x =⋅-⋅在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点,求正实数n 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩)(t 为参数,0απ≤<),在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为2211sin ρθ=+.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设点M 的坐标为()1,0,直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求11MA MB+的值.23.选修4-5:不等式选讲设函数()()()210,f x ax x a a g x x x =++->=+. (1)当1a =时,求不等式()()g x f x ≥的解集;(2)已知()32f x ≥,求a 的取值范围.试卷答案 一、选择题1-5:CCDBB 6-10:CBCCA 11、12:DB 二、填空题13.14. 120 15.1216.①②③三、解答题17.(1)设{}n a 的公差为d ,由题设可得,123194610a d a a a +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩, ∴()()12111461028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩, 解得11,1a d ==. ∴n a n =. (2)令3n nnc =,则12n n T c c c =+++231123133333n n n n --=+++++ ,①231112133333n n n n nT +-=++++ ,② ①-②得:21211133333n n n n T +⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭1111331313n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=-- 1112233n n n +=--⨯,∴323443n n n T +=-⨯.18.(1)解:在ABC ∆中,由余弦定理得,24822cos454BC =+-⨯⨯︒=,∴2BC =,则有2228AB BC AC +==, ∴90ABC ∠=︒,∴BC AB ⊥, 又∵11,BC BB BB AB B ⊥⋂=, ∴BC ⊥平面11ABB A , 又1B M ⊂平面11ABB A , ∴1BC B M ⊥.(2)解:由题设知,平面把此三棱柱分成两个体积相等 的几何体为四棱锥1C ABB M -和四棱锥111B A MCC -. 由(1)知四棱1C ABB M -的高为2BC =, ∵111122482ABC A B C V -=⨯⨯⨯=三棱柱, ∴1142C ABB MV V -==四棱锥柱, 又11112433C ABB MABB M ABB M V S BC S -=⋅==四棱锥梯形梯形, ∴14622ABB MAM S +==⨯梯形,∴2AM =. 此时M 为1AA 中点,以点B 为坐标原点,1,,BA BC BB的方向为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.∴()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,2,0,2A C B M . ∴()()()110,2,4,2,0,2,2,2,0CB B M AC =-=-=-, 设()1111,,n x y z = 是平面1CB M 的一个法向量,∴111100n CB n B M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111240220y z x z -+=⎧⎨-=⎩,令11z =,可得()11,2,1n = , 设()2222,,n x y z =是平面1ACB 的一个法向量,∴21200n CB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2222240220y z x y -+=⎧⎨-+=⎩,令21z =,可得()22,2,1n = ,∴121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅。

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