山东省潍坊市2018届高三下学期一模考试数学(理)试题 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足()142i zi+=+,则z=( )A .3i -+B .32i- C .3i + D .1i +2.已知集合{{}2,20A xx B xxx =<=-->,则A B ⋂=( )A.{x x -<< B.{1xx -<<C.{}1xx -<- D .{}12xx -<<3.若函数()xxf x aa-=-(0a>且1a ≠)在R 上为减函数,则函数()lo g 1ayx =-的图象可以是( )A. B. C.D .4.已知,x y 满足约束条件10330210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则函数z=的最小值为( )A .12B2C .1 D5.A B C ∆的内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ,已知()c o s 2c o s ,2,1b A c a B c a =-==,则A B C∆的面积是( ) A .12B2C .1 D6.对于实数,a b ,定义一种新运算“⊗”:ya b=⊗,其运算原理如程序框图所示,则5324=⊗+⊗( )A .26B .32C .40D .46 7.若函数()()3lo g 2,0,0x x f x g x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数,则()()3f g -=( )A .3-B .2-C .1-D .08.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .20πB .24πC .28πD .32π 9.已知函数()()2s in 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π,其图象关于直线23xπ=对称.给出下面四个结论: ①函数()f x 在区间40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减;②将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称;③点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心;④函数()f x 在[],2ππ上的最大值为1.其中正确的是( )A .①②B .③④C .①③D .②④10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为( ) A .甲 B .乙 C .丙 D .丁 11.双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交曲线左支于,A B 两点,2F A B ∆是以A 为直角顶点的直角三角形,且230A F B∠=︒.若该双曲线的离心率为e ,则2e=( )A .11+.13+.16-.191-12.函数()1yfx=+的图象关于直线1x =-对称,且()y f x =在[)0,+∞上单调递减.若[]1,3x ∈时,不等式()()()2ln 323ln 32f m x x f fx m x --≥-+-恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A .1ln 66,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .1ln 36,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .1ln 66,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .1ln 36,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13. 实数,a b 满足2221a b+=,则a b 的最大值为 .14.()(511x +-展开式中2x 的系数为 . (用数字填写答案)15.已知抛物线()20y a xa =>的准线为l ,若l 与圆()22:31C xy-+=则a=.16.正四棱柱1111A B C DA B C D -中,底面边长为2,侧棱11A A =,P 为上底面1111ABCD 上的动点,给出下列四个结论: ①若3P D =,则满足条件的P 点有且只有一个;②若P D =P 的轨迹是一段圆弧;③若//P D 平面1A C B ,则P D 与平面11A C C A④若//P D 平面1A C B ,则平面B D P 截正四棱柱1111A B C DA B C D -的外接球所得图形面积最大值为2512π.其中所有正确结论的序号为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知410S =,且139,,a a a 成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图,直三棱柱111A B C A B C -中,14,2,45C C A B A C B A C ===∠=︒,点M 是棱1A A 上不同于1,A A 的动点.(1)证明:1B CB M⊥;(2)若平面1M B C 把此棱拄分成体积相等的两部分,求此时二面角1MB C A--的余弦值.19.某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数14μ=,标准差2σ=,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为X ,依据以下不等式评判(P 表示对应事件的概率):①()0.6826P X μσμσ-<<+≥②()220.9544P X μσμσ-<<+≥ ③()330.9974P X μσμσ-<<+≥评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修; (2)将数据不在()2,2μσμσ-+内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为Y ,求Y 的分布列与数学期望E Y . 20.如图,椭圆()2222:10x y Ca b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F ,左右顶点分别为,,A B P 为椭圆C 上任一点(不与A B 、重合).已知12P F F ∆的内切圆半径的最大值为2-,椭圆C 的离2.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 过点B 且垂直于x 轴,延长A P 交l 于点N ,以B N 为直径的圆交B P 于点M ,求证:O M N 、、三点共线.21.函数()()()sin ,1c o s xxf x e x gx x x ==+-.(1)求()f x 的单调区间; (2)对120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,使()()12f xg x m+≥成立,求实数m 的取值范围;(3)设()()2sin 2sin x h x fx n xx=⋅-⋅在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点,求正实数n 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xO y 中,直线l 的参数方程为1c o s s in x t y t αα=+⎧⎨=⎩)(t 为参数,0απ≤<),在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为2211sin ρθ=+.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设点M 的坐标为()1,0,直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求11M AM B+的值.23.选修4-5:不等式选讲 设函数()()()210,f x a x x aa g x xx=++->=+.(1)当1a=时,求不等式()()g x f x ≥的解集;(2)已知()32f x ≥,求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCDBB 6-10:CBCCA 11、12:DB 二、填空题414. 120 15.1216.①②③三、解答题17. (1)设{}n a 的公差为d ,由题设可得,123194610a d a a a +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩,∴()()12111461028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩,解得11,1a d ==.∴na n=.(2)令3n nn c =,则12nnT c c c =+++231123133333n nn n --=+++++,①231112133333n nn n nT +-=++++,②①-②得:21211133333n n n nT +⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭1111331313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--1112233nn n +=--⨯, ∴323443nnn T +=-⨯.18.(1)解:在A B C ∆中,由余弦定理得,24822c o s 454B C =+-⨯⨯︒=,∴2B C=,则有2228A B B CA C+==,∴90A B C ∠=︒,∴B C A B ⊥, 又∵11,B C B B B B A B B⊥⋂=,∴B C ⊥平面11A B B A , 又1B M ⊂平面11A B B A ,∴1B CB M⊥.(2)解:由题设知,平面把此三棱柱分成两个体积相等 的几何体为四棱锥1C A B B M-和四棱锥111B A M C C -.由(1)知四棱1C A B B M-的高为2B C=,∵111122482A B C A B CV -=⨯⨯⨯=三棱柱,∴1142C A B B MV V -==四棱锥柱,又11112433C A B B MA B BM A B BMV S B C S -=⋅==四棱锥梯形梯形,∴14622A B B MA M S +==⨯梯形,∴2A M =.此时M 为1A A 中点,以点B 为坐标原点,1,,B A B C B B 的方向为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B x y z-.∴()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,2,0,2A C B M . ∴()()()110,2,4,2,0,2,2,2,0C B B MA C=-=-=-,设()1111,,n x y z=是平面1C B M 的一个法向量,∴111100n C B n B M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111240220y z x z -+=⎧⎨-=⎩,令11z =,可得()11,2,1n=,设()2222,,n x y z=是平面1A C B 的一个法向量,∴21200n C B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2222240220y z x y -+=⎧⎨-+=⎩,令21z =,可得()22,2,1n=,∴121212c o s,1836nn n n n n ⋅===⋅所以二面角1MB C A--18.19.解:(1)由题意知,14,2μσ==,由频率分布直方图得()()()12160.290.1120.80.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=+⨯=>,()()()2210180.80.040.0320.940.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=++⨯=<,()()()338200.940.0150.00520.980.9974P X P X μσμσ-<<+=<<=++⨯=>,∵不满足至少两个不等式成立,∴该生产线需检修. (2)由(1)知()47220.9450P X μσμσ-<<+==,所以任取—件是次品的概率为30.0650=,所以任取两件产品得到的次品数Y 可能值为0,1,2,则()24722090502500P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭;()1247314115051250P Y C ==⋅=;()2392502500P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭;∴Y 的分布列为∴22091419301225001250250025E Y=⨯+⨯+⨯=.20.解:(1)由题意知:2c a=,∴2ca=,又222b a c=-,∴2ba=,设12P F F ∆的内切圆半径为r , 则()12121212P F FS P F P F F F r ∆=++⋅,()()1222a c r a c r=+⋅=+,故当12P F F ∆面积最大时,r 最大, 即P点位于椭圆短轴顶点时,2r =-∴()(2a c b c +-=,把,22cb ==代入,解得2,ab ==,∴椭圆方程为22142xy+=.(2)由题意知,直线A P 的斜率存在,设为k , 则所在直线方程为()2yk x =+,联立()222142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y,得()2222218840k x k x k+++-=,则有()2284221p k x k-⋅-=+,∴222421pk x k-=+,()24221p p k y k x k=+=+,得22284,2121k kB P k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭,又()2,4N k , ∴()2,4O N k =,则2222161602121k k O N B P kk-⋅=+=++,∴O NB P⊥而M 在以B N 为直径的圆上, ∴M N B P⊥,∴,,O MN三点共线.21.解:(1)()()sin c o s sin c o s sin 4xxxxf x e x e x ex x x π⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭,当224k x k ππππ≤+≤+,即32,244x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦时,()()0,f x fx '≥单调递增;当2224k x k πππππ+≤+≤+,即372,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时,()()0,f x fx '<单调递减;综上,()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,()fx 的单调递减区间为372,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)()()12f xg x m+≥,即()()12f x m g x ≥-,设()()t x m g x =-, 则原问题等价于()()m inm in,0,2f x t x x π⎡⎤≥∈⎢⎥⎣⎦,一方面由(1)可知,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0f x '≥,故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,∴()()m in00f x f==另—方面:()()1c o s xt x m xx =-++,()()c o s 1s in xt x x x x '=-+++,由于[]c o s 1,0xx -∈-≥∴c o s 0xx -+>,又()1sin 0xx +≥,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()0t x '>,()t x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数,()()m in01t x t m ==-+所以10m-+≤,1m≤-(3)()2s in 2,0,2xh x x en x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,()()()22cos 2212cos 2xxxh x e xen x x en x'=+-=+-.①若01n <≤,则()()0,h x h x '>单调递增,()()00h x h >=无零点,②若1n>时,设()()212c o s 2xk x x e n x =+-,则()()224s in 20xk x ex n x '=++>,故()k x 单调递增,∵()0220k n =-<,221022k e πππ⎛⎫⎛⎫=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()00k x =,因此当()00,x x ∈时,()0k x <,即()()0,h x h x '<单调递减;当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k x >即()()0,h x h x '>单调递增.故当()00,x x ∈时,()()00h x h <=无零点,当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()200,02h x h e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭,存在唯一零点,综上,1n >时,有唯一零点.22.解:(I )曲线2221sin ρθ=+,即222sin 2ρρθ+=,∵222,sin x y yρρθ=+=,∴曲线C 的直角坐标方程为2222xy+=即2212xy+=.(2)将1c o s s in x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y+=并整理得()221sin 2co s 10t t αβ++-=,∴1212222co s 1,1sin 1sin t t t t ααα-+=-⋅=++,∴121211M A M B A Bt t M AM BM A M BM A M Bt t +-+===⋅⋅-⋅,∵121sin t t α-===+,∴2111s in 11s in M A M Bαα++==+23.解:(1)当1a =时,不等式()()g x f x ≥即211xx x x +≥++-,当1x<-时,222,30x x x x x +≥-+≥,∴0x ≥ 或3x ≤-,∴此时,3x ≤-, 当11x -≤≤时,222,0x x xx +≥+≥,∴1x ≥或2x ≤-,∴此时,1x =,当1x>时,222,0x x x x x +≥-≥,∴1x ≥或0x ≤此时,1x>,∴不等式的解集为{3x x ≤-或}1x ≥.(2)()()()()111,,1111,,11,,a x a x a f x a x x a a x a x a aa x a x a ⎧-++-<-⎪⎪⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪⎪+-+>⎪⎩若01a <≤则()()2m in1fx fa a==+,∴2312a +≥,解得:2a ≥2a≤-12a ≤≤,若1a>则()m in11322fx f a a a ⎛⎫=-=+>>⎪⎝⎭,∴1a >,综上所述,a .2。