第十二章 导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。

同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。

1．重视导数的实际背景。

导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。

这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。

2．深刻理解导数概念。

概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。

在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。

3．强化导数在函数问题中的应用意识。

导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。

4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。

在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。

5．加强“导数”的实践应用。

导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。

6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。

定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。

第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科）【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。

2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。

3．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。

4．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 32π±。

5．（1）已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。

（2）（理科）设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1()3＝15-。

6．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。

解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数 b a +⨯=+⨯∴12132，得b=2又由c +⨯+=12122，得1-=c【范例导析】例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。

从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式223q t t =+表示。

（1） 求第5秒内时的电流强度；（2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。

解：（1）从时刻0t 到时刻0t t + 通过导体的这一横截面的电量为：222000002()3()(23)(34)2()q t t t t t t t t t =+++-+=++ 则这段时间内平均电流强度为0342,q t t t =++ 当00,34q t t t→→+ 当05t =时，则03423t +=（安培）。

（2）令03463t +=，得015t =（秒）。

答：（1）第5秒时电流强度为23安培；（2）第15秒时电流强度为63安培。

点评：导数的实际背景丰富多彩，本题从另一个侧面深化对导数概念的理解。

例2．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+分析：利用导数的四则运算求导数。

解：①法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x∴ 26102y x x '=++法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322-+x x +)1(+x )34(+x26102x x =++② 231212332----+-=x x xx y ∴ 252232123233---+-+='x x x x y ③()f x '=e －x （cos x +sin x ）+e －x （－sin x +cos x ）=2e －xcos x , 点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。

例3． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。

解： 切线与直线34+=x y 平行， 斜率为4又切线在点0x 的斜率为00320(10)31x x x x y x x x ==''=+-=+∵ 41320=+x ∴10±=x∴⎩⎨⎧-==8100y x 或⎩⎨⎧-=-=12100y x ∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412+=+x y 即124-=x y 或84-=x y点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。

变题：求曲线32y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程。

答案：20,5410x y x y +-=--=点评：本题中“过点(1,1)A 的切线”与“在点(1,1)A 的切线”的含义是不同的，后者是以A 为切点，只有一条切线，而前者不一定以A 为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。

备用题：证明：过抛物线y =a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.证明：y ′=2ax －a （x 1+x 2），y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）.设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|， tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β.又α、β是锐角，所以α=β。

【反馈演练】1．一物体做直线运动的方程为21s t t =-+，s 的单位是,m t 的单位是s ，该物体在3秒末的瞬时速度是5/m s 。

2．设生产x 个单位产品的总成本函数是2()88x C x =+，则生产8个单位产品时，边际成本是 2 。

3．已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为 （1） 。

（1）f （x ）=（x －1）2+3（x －1） （2）f （x ）=2（x －1）（3）f （x ）=2（x －1）2 （4）f （x ）=x －14．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为430x y --=。

5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 3 。

设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim 0000x f xx f x x f x 则 －1 。

7．函数)100()2)(1()(-⋅⋅⋅--=x x x x x f 在0=x 处的导数值为 100! 。

8．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是 y ＝4x －4 ．9．设f （x ）在x =1处连续，且f （1）=0,1lim →x 1)(-x x f =2,则(1)f '= __2_____。

解：∵f （1）=0, 1lim →x 1)(-x x f =2, ∴f ′（1）= 0lim →∆x x f x f ∆-∆+)1()1(=1lim →x 1)1()(--x f x f =1lim →x 1)(-x x f =2 10． 求下列函数的导数： (1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3))1ln(2x x y ++=(4)11-+=x x e e y (5)x x x x y sin cos ++= (6)x x x y cos sin 2cos -= 解：（１）34182-+='x x y , (2)x x x x y cos sin 22+='; (3)211x y +=', (4)2)1(2--='x xe e y ; (5)2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x y +--+--=', (6)x x y cos sin -='. 11．已知曲线C ：4923234+--=x x x y（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线的方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其它公共点。

解：（1）切线方程为()1124--=+x y ，即812+-=y（2）除切点外，还有两个交点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,32),32,2(。

12 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥ （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积解： 设直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，'21y x =+，由题意得10'|1x k y ===,得直线1l 的方程为2y x =- 122111l l k k ⊥∴=-=- 211,1x x +=-=-令得,212,2x y x x y =-=+-=-将代入得2l ∴与该曲线的切点坐标为(1,2),A --由直线方程的点斜式得直线2l 的方程为：3y x =-- （Ⅱ）由直线1l 的方程为2y x =-,令0=2y x =得:由直线2l 的方程为3y x =--，令0=3y x =-得:由23y x y x =-⎧⎨=--⎩得：52y =- 设由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积为S ，则：1525[2(3)]224s =⋅-⋅--=。