《概率论》第二章练习答案一、填空题：”2x c S 11.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的0 其匕'-观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。
22.设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x)=I 0 其他1且EX=丄，贝U a = -2 , b = 2 。
3 ------------------- ----------------------3. 已知随机变量X在［10 , 22 ］上服从均匀分布，则EX=」6 ________________ , DX= 124. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =225. 已知X的密度为(x)二ax©"bY010 . x ::11 1(x ) =P(X»),则3 36.7. 1 1(X〈一)= P ( X〉一)一1(ax b)dxjQx b)联立解得:dx若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1——'J设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：,丨1, x ：： 00 岂x ：：： 1，则P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.998. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二x _100x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他)需要更换的概率为_____厂100 8/27 _________ x> 1009.设随机变量X服从(n, p)分布，已知EX= 1.6 ,DX= 1.28 ,则参数n=P= oEX = np = 1.6DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.210.设随机变量x服从参数为(2, p)的二项分布，丫服从参数为(4, p)的二项分5布，若P (X> 1)=-，贝U P (Y> 1)=—65/81 _____________ o9解:13.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X- 2的期望E (Z)= 3EX-2=3x2-2=4 。
14 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X)= 2 .D (X) = 2 ..•.冬=2(冬=0舍)15.若随机变量E服从参数入=0.05的指数分布，则其概率密度函数为:丄0.05e^.05x x^O ,做x)=」' ;E E = 20 ; D E = 400 o0 X £ 0 ,16.设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为巩.仮讣占晋今伽17.某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为P3⑷=0.168031解: X ~ b(300,0.01)P(X =4) = f300 !* 0.014 * 0.99296,<4丿利用泊松定理作近似计算：:(x)=其它P ( > 150) [P( > 150)] 150100 , 100 150=1-F(150)=1- p dx=1 —100 x x 3 2 3 8=()=■100=1 ?一1 上3 311 .4 ) 12.5 $ 4p(X -1) p(X 1) p(X =0)9 92 4 2 1q q , p =-随机变量X〜N (2，2)，且P (2V X V=0.3，贝U P (X V 0) = _0.2 _设随机变量X服从参数为1的指数分布，数学期望E(X +e"X)= 4/3 ________一小时内使用电话的用户数服从■二np=300 0.01 =3的泊松分布18通常在n比较大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布的公式，其期望为 ■ - np ，方差为 ■-叩19 . X ~ N(P,<r 2), P(X c —5) =0.045, P(X 兰3) = 0.618，则 4 =_ 1.8。
（将X 标准化后查标准正态分布表） 、单项选择：1.设随机变量X 的密度函数为： 4f （x ）-① 1.4=EX=0.6X 1+O.4X 2② DX =E X （EX ）2联系①、②解得X 1=1, X F 25.现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取 3张, 则此人得奖金额的数学期望为 （） A. 6 元 B. 12 元 C. 7.8 元 D. 9 元 设•表示得奖金额，则其分布律为:6 （ 3张2元的）9 （ 2张2元，1张5元的）12 （ 1张2元，2张5元的）「 3, 0<x<1 L0 其他则使P(x>a)=P(x<a)成立的常数a =( (其中 0<a<1)A * 4；B. 4 2C.解：根据密度函数的非负可积性得到：2.设F 1 (X )与F 2 (X )分别为随机变量 -bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取( 3「 2 c 2 「 a=— , b = — B. a=— , b= 553 一 1 — 3 n _1 u_a — —, b=D. a — , b=2 2 2F( + ■ - )=a F 1 (+ ：- )-BF 2 什)=1 =■ a - b =1 C.3. 已知随机变量的分布函数为 X 与X 2的分布函数，为使F （X ） A ）=aF i (x) 23 _ 32，则：（B11D 、A — B=-1 1 A 、A=— B= n B 、A=— B=22解：要熟悉arctgx 的图像4.设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和％,而且Xv 夫，X 取值X 的概率为0.6， 又已知E （X ）= 1.4，D （X ）= 0.24，则X 的分布律为 （）x 0 1P 0.6 0.4 x n n +1 p0.60.4x 1 2 p 0.6 0.4x a b p 0.6 0.4C. 7.8 元 A. C.BD.故期望值为：7.86. 随机变量X 的概率分布是:10. ____________________________________ 若随机变量X 的可能取值充满区间 ______________________________ ，那么变量的概率密度函数。
A . ［0 ,二］ B. ［0.5二,2 1 C 8 C 21 2C 8C 23C10 3C10X 1 : 1 3 411 ,P—ab641 ,1 1 ,2A a=—b=_B、a=—, b=—6412127.下列可作为密度函数的是： (B 贝U: ( D)1 . 51 . 1 C 、 a= , b= D 、 a=_ , b=_121243A 、®(x)=円 1 +x 2L 0(x_a)B ®(x)=J eI 0x 0 x _0x a其它C:(x)sin x x ［0,二］一 1 ：： x :: 1依据密度函数的性质:;：(x) 一 0(x ) dx=1进行判断得出：B 为正确答案8. 设X 的概率密度为®(x)，其分布函数F ( x )，则(D )成立。
A 、P(x "3)=F(x)B 、0< ，(x)冬 1C 、P (x=护(x)D、P (x ：： ：：) _ F(x)厂x9. 如果 x~%x)，而®(x) = y 2—x-00乞x 辽11 < x 乞2 ,贝U P( x 乞 1.5) =( C 其它1.5A 、 (2 - 2/V5dx X)1.5C 、0.875D 、.二一(2-x)dxSinx 可以作为一个随机(B )［二，1.5 二］B 为正确答案3 C 8D :(x)C. [0,1.5 二]D. -0进行判断得出: x ) dx = 1依据密度函数的性质：11.某厂生产的产品次品率为5%每天从生产的产品中抽5个检验，记X为出现次品的个数，贝U E(X)为______ 。
( D )A . 0.75 B. 0.2375 C. 0.487 D. 0.25此题X服从二项分布b(5,0.05),EX=np=5*0.05=0.2512.设X服从二项分布，若(n+ 1)P不是整数，则K取何值时，P(X= K)最大？ (D )A. K=(n+ 1) PB. K=(n+ 1) P—iC. K= nPD. K= [ (n+ 1) P ]解：根据二项分布的正态近似知，当X接近于EX=np时取到最大值，由于(n+ 1) P不是整数，因此需要寻找最接近np的整数。
13 .设X服从泊松分布，若■不是整数，则K取何值时，P (X= K)最大？(B )A.工一B. [ ]C. 一1D.工-+ 1解：根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知：当EX=时取到最大值，因为■不是整数，而K必须为整数，因此需要对■取整14. X ~ N(0,1)，Y=2X-1,则Y~( C )A、N （0，1）B 、N （1，4）C 、N （-1，4）D 、N （-1，3）15.已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则其标准差为：(C )A . 2 B. 1/4 C. 1/2 D.2随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/216.当满足下列( )条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。
(D )A . n—• , np —•(二项分布的泊松近似)B. n—•, p— 017.设X 〜N（10,25）,已知门0（1） ,.0.8413，门0（2）： 0.97725，则卩八"和宀■ 20?的概率分别为[C ]A. 0.0228,0.1587B. 0.3413,0.4772C. 0.1587,0.0228D. 0.8413,0.97725三、计算题：1.设随机变量X的密度函数是连续型函数，其密度函数为：AX 0j v X< 1Bf(x) [ —X 1 v X< 20 其它试求：(1)常数A Bo (2)分布函数F (x) (3) P (* v x今)解：(1)由X为连续型随机变量，H" OQ 同时： 「f (x)dx =1 = A • 2B =5 ……② —oO①、②式联系解得：A=1，B=2(2)F(x) = J x f (t)dt,—oO② F ( x ) 解：① P (X <5)=② ③3. 设随机变量X 的密度函数为:ax - 0<x<2f(x):=ex + b 2 < x <40 其他 已知 EX = 2,3P (1<x<3)= 一，求a 、b 、e 的值42 4解:("① o ax dx /ex b )dx 七 6c② EXj^dx 'ex 2 bx)dx 吟 拿 6严2 3 3 5 3③ p(1 ：： X :: 3) axdx 亠 I (ex b)dx 二一a -c b = 一 ‘1 ‘2 22 44•假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X （单位：t ）,已知X 服从［2000,4000］上的均匀分布，设每出售这种商品1t ，可为国家挣得外汇3万元, 但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费 1万元，问应组织多少货源，才能使国家的收益最大？解: Y :每年该商品的出口量 R :收益当 o ：：X E1,F （X ）二 x 0tdt当 1 ：： x 岂 2, F (x)二「xdx+ J x(2—t)dt =丄 +(2t —h 2)x»〕x 21 2-1;当 x>2 时，F(x)=1.13 3 1(3)P(「：：X 乞一)=F (一)—F(；)=2 一 _丄(一)22 2 2 亠 2 (i )22xXx"，求: 其它① P （ X 乞0.5）2.设已知X~1X 的密度函数：-f （x ）=」応,2°°°兰X 兰4°°0 ,［0,其他• • • y=3500时，利益最大5.设某种商品每周的需求量 X 服从区间［10 , 30］上均匀分布，而经销商店进货量 为［10，30］中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500元，若供大于求，则削价 处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商 品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于 9280元，试确定最小进货量？ 解：设进货量为a,则利润为：若 EMa _9280 即：-7.5 : +350： +5250》92802解得：202< : < 263•••取最小二=211上式：x _ f (x)=丿 2026.某高级镜片制造厂试制成功新镜头， 准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测 设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：①直接进口，② 租用设备，③ 与外商合资。