概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第二章 随机变量及其分布教学要求：一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数.三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布．重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布．练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律1．填空、选择(1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量⎩⎨⎧=，，出现正面，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间]221，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果{}81801=≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i其中0>c 是常数，则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）11+=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律.解：从1～5中随机取3个共有1035=C 种取法.以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3{}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则{}1013==X P ; {}4=X 表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在1,2,3中任取2个,共有323=C 种取法,故{}10343523===C C X P ;{}5=X 表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数是1,2,3,4中任取2个,共有624=C 种取法,故{}5310653524====C C X P .{}5=X P 也可由{}{}431=-=-X P X P 得到.3．设X 为随机变量，且k k X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 (1)判断上面的式子是否为X 的概率分布； 解：令 ,2,1,21)(====k k X P p kk ， 显然 ① 10≤≤k p ，② 1121212111=-==∑∑∞=∞=k k k k p ；所以 ,2,1,21)(===k k X P k 为随机变量X 的概率分布。

(2)若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .解：X P (为偶数31121)1411212=-===∑∑∞=∞=k k k kp；161121)5(2121555=-===≥∑∑∞=∞=k k k k p X P 。

4. 设一次试验成功的概率为)10(<<p p ，不断进行重复试验.(1)若将试验进行到首次成功为止,用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布(此时称X 服从以p 为参数的几何分布)；解：此试验至少做一次,这是X 可能取值的最小值.若需要做k 次,则前1-k 次试验均失败,最后一次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律为:,2,1,)1()(1=-==-k p p k X P k 。

(2)若将试验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需要的试验次数,求Y 的分布律（此时称随机变量Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布或负二项分布）解：此试验至少做r 次,若需要做k 次,则第k 次必为成功,而前1-k 次中有1-r 次成功,由于各次实验是相互独立的,故分布律为:{} ,1,,)1(11+=-==---r r k p p C k Y P rk r r k 。

(3)一篮球运动员投篮命中率为45﹪.以X 表示他首次投中时累计投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率.解：这是(1)中45.0=p 的情形,先写出X 的分布律:{}.,2,1,)55.0(45.01 ===-k k X P k因{}{},,k j k X j X ≠Φ=== 故X 取偶数的概率为{}311155.0155.045.0)55.0(45.02)2(211211=-⨯====⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑∞=-∞=∞=k k k k k X P k X P 。

5．一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的.求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？解:因为学生靠猜测答对每一道题的概率41=p ,所以这是一个41,5==p n 的独立重复试验,故641)43()41(43)41()4(0555445=+⨯=≥C C X P .6．设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3.当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率；解:设X 表示在5次实验中A 发生的次数,则)3.0,5(~B X ,指示灯发出信号这一事件可表示为{}3≥X ,故所求的概率为{}163.03.0)3.01(3.0)3.01(3.0354452335=+-+-=≥C C X P .(2) 进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。

解:设Y 表示在7次试验中A 发生的次数,则)3.0,7(~B Y ,故指示灯发出信号的概率为{}{}{}{}353.03.0)3.01(3.0)3.01()3.01(12101325276177=⨯--⨯----==-=-=-=≥C C Y P Y P Y P Y P7．为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员.根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立.(1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；解：设X 表示设备发生故障的台数，则)01.0,20(~B X ，于是由1人负责维修20台设备，发生故障后不能及时维修的概率为：{}()()kkk kC X P -=∑=≥202022099.001.020175.0)99.0(01.020)99.0(11920≈⨯⨯--= (按Poisson 分布近似)(2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？解：设Y 表示设备发生故障的台数，则),01.0,100(~B Y 设N 为需配备的维修人员，则设备发生故障而不能及时维修的概率为()()()kkN k kC N Y P -+=∑=>100100110099.001.0依题意有()()()01.099.001.01001001100≤=>-+=∑kkN k k C N Y P由于 λ==⨯==101.0100,100np n ，由Poisson 分布近似得01.0!1)99.0()01.0()(100111001100100≤⨯≈=>∑∑+=-+=-N k k N k kk k k e CN Y P ，查表得4=N .所以至少需配备4名维修人员.8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson 分布.经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解：设X 服从参数为λ泊松分布，即X ～()λπ，则X 的分布律为()!k ek X P kλλ-==，依题意有)2()1(===X P X P ，即,!2!121λλλλ--=e e解得2=λ.所以每页没有印刷错误的概率()210-===e X P p ,任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率8422)(--==e e p .9. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到紧急呼救的次数X 服从参数为t 21的Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； 解：已知)21(~t X π，某一天从中午12时至下午3时,3=t 则,23=λ于是没有收到紧急呼救的概率为2231.0)0(23===-eX P .（2）某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。

解：已知)21(~t X π，某一天从中午12时至下午5时,5=t 则,25=λ于是至少收到1次紧急呼救的概率为9179.01)0(1)1(25=-==-=≥-eX P X P .练习二 随机变量的分布函数1．(1)设X 服从()10-分布,其分布律为{}1,0,)1(1=-==-k p p k X P k k ,求X 的分布函数,并作出其图形.解：X 服从(0—1)分布,分布律为当0<x 时,{},0)(=≤=x X P x F当10<≤x 时,{}{}p X P x X P x F -===≤=10)(,当1≥x 时,{}{}{}1)1(10)(=+-==+==≤=P P X P X P x X P x F ,故X 的分布函数为:()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=.1,1,10,1,0,0x x p x x F（图略）。

(2) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,求随机变量X 的分布函数.解：X 的分布律为X 的分布函数为{}x X P x F ≤=)(,即有当3<x 时, {},0)(=≤=x X P x F当43<≤x 时,{}{}1.03)(===≤=X P x X P x F当54<≤x 时,{}{}{}4.03.01.043)(=+==+==≤=X P X P x X P x F , 当5≥x 时,{}{}{}{}1543)(==+=+==≤=X P X P X P x X P x F ,故知 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1,54,4.0,43,1.0,3,0x x x x x F2．已知随机变量X 的概率分布为2.0)1(==X P ，3.0)2(==X P ，5.0)3(==X P ，试求（1）X 的分布函数；（2）)25.0(≤≤X P ；（3）画出)(x F 的曲线.解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,5.021,2.01,0)(x x x x x F ； （2）5.0)25.0(=≤≤X P（3）)(x F 曲线：3．设X 表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间(以分计),X 的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,14.0x x e x F x 求下:{}{}{}{}{}.5.254344334231分钟恰好）；（分钟分钟或至少至多）（；分钟之间分钟至）；（分钟至少）；（分钟至多）（P P P P P解： (1) }3{}3{≤=X P P 分钟至多 2.11)3(--==eF X .(2){}()6.14141}4{1}4{}4{-=-=≤-=<-=≥=e F X P X P X P P X 分钟至少(3)}43{}43{≤≤=X P P 分钟之间分钟至)3()4(}43{X X F F X P -=≤<=6.12.1---=e e(4) }43{分钟分钟或至少至多P )}4()3{(≥≤=X X P}4{}3{≥+≤=X P X P 6.12.11--+-=e e(5) 0}5.2{}5.2{===X P P 分钟恰好5．从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设X 为途中遇到红灯的次数，试求（1）X 的概率分布；（2）X 的分布函数．解：（简答）（1）这是52,3==p n 的重复独立实验，X 的概率分布律为 3,2,1,0,)53()52()(33===-k C k X P k k k ；列成表格（2）X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.3,1,32,125117,21,12581,10,12527,0,0x x x x x x F练习三 连续型随机变量及其概率密度1. 填空(1)设随机变量X 在区间)6,1(上服从均匀分布,则关于t 的方程012=++Xt t 有实根的概率是54.(2)设随机变量),2(~2σN X ,且概率{}3.042=<<X P ,则{}0<X P __0.2___.2. 设X 为连续型随机变量，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤++<=.,,1,ln ,1,)(e x d e x d cx x bx x a x F 试确定)(x F 中的d c b a ,,,的值。