习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p .或者X 0 1 P 1-pp2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c , 并计算条件概率.cc c c 167,85,43,21}0|1{≠<X X P 解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++=所以.3716c=所求概率为P {X <1| X }=.0≠258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若≥, 求≥.{P X 51}9={P Y 1}解 注意p{x=k}=,由题设≥kk n k n C p q -5{9P X =21}1{0}1,P X q =-==-故. 从而213qp =-=≥{P Y 32191}1{0}1(.327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.1927解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都2719没有成功的概率是. 即, 故 =.278278)1(3=-p p 315. 若X 服从参数为的泊松分布, 且, 求参数.λ{1}{3}P X P X ===λ解 由泊松分布的分布律可知.6=λ6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.1035=C {X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}==;2235C C 101{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=;1033523=C C {X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=.533524=C C X 的分布律是X 345P11031035习题2-31. 设X 的分布律为X -11P0.150.200.65求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2}, P {-2≤X <1}.解 (1)F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥ (2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35.2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知(0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩于是11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤ 1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0, 01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X ,1}(1)0F -=-=≤P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;; 在事件11{1},{1}84P X P X =-===出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成{11}X -<<正比. (1) 求的分布函数≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .X (){F x P X =解 (1) 由条件可知,当时, ;1x <-()0F x =当时, ;1x=-1(1)8F -=当时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.1x =所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于的条件下, 事件的条件概率为(1,1)-{1}X x -<<≤,{1P X -<|11}[(1)]x X k x -<<=--取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =. 12因此≤.{1P X -<|11}12x X x -<<=+于是, 对于, 有11x -<<≤≤{1P X -<}{1x P X =-<,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=⨯=对于≥1, 有 从而x () 1.F x =0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥(2) X 取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题(1) 设 如果c =( ), 则是某一随机变量的概率密2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩()f x 度函数.(A). (B). (C) 1.(D).131232解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题()d 1f x x +∞-∞=⎰2d 1cx x =⎰1=c 应选(C ).(2) 设又常数c 满足, 则c 等于( ).~(0,1),XN {}{}P X c P X c =<≥(A) 1.(B) 0.(C). (D) -1.12解 因为, 所以,即{}{}P X c P X c =<≥1{}{}P X c P X c -<=<, 从而,即, 得c =0. 因此本题应选(B).2{}1P X c <={}0.5P X c <=()0.5c Φ=(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A)(B)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它.12,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C) (D)22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎩e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D).()1f x dx +∞-∞=⎰(4) 设随机变量, , ≤},2~(,4)XN μ2~(,5)Y N μ1{X P P =4μ-≥}, 则( ).{2P P Y =5μ+(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.12,P P μ=12,P P μ<(C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.μ12P P =12,P P μ>解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有μ.12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为, 且, 又F (x )为分布函数, 则对()f x ()()f x f x =-任意实数, 有().a (A) . (B) .()1d ()∫aF a x f x -=-1()d 2()∫aF a x f x -=-(C) .(D) .()()F a F a -=()2()1F a F a -=-解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且X211(,)N μσY 222(,)N μσ 则下式中成立的是().12{1}{1},P X P Y μμ-<>-<(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2.(D) μ1 >μ2.解 答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数,数满足)10(<<αααu , 若, 则等于().{}P X u αα>={}P X x α<=x (A) .(B) .(C) .(D) .2u α21α-u 1-2u αα-1u 解 答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为的指数分布, 要使成立, λ1{2}4P kX k <<=应当怎样选择数k ?解 因为随机变量X 服从参数为的指数分布, 其分布函数为λ1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知.221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-于是.ln 2k λ=3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使(其中a >0)成立, 应当怎样选择数?{}{}≥P X a P X a =<a 解由条件变形,得到,可知, 于是1{}{}P X a P X a -<=<{}0.5P X a <=, 因此.304d 0.5a x x =⎰a =4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2).{0.30.7}P X <<解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,()()F x f x '=可得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2).22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤}与P {≤2}.1214X ＜解≤;{P X 12201112d 224}x x x ===⎰≤.1{4P X <12141152}2d 1164x x x ===⎰6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得,12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰于是；2A =(2) 由公式可得()()d x F x f x x -∞=⎰当x ≤0时, ;()0F x =当≤1时, ;0x <201()d 2x F x x x x ==⎰当≤2时, ;1x <2101()d (2)d 212xx F x x x x x x =+-=--⎰⎰当x >2时, .()1F x =所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 根据概率密度与分布函数的关系式≤,{P a X <}()()()d bab F b F a f x x =-=⎰可得.2115{1}(1)d48P X x x>=+=⎰所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为.223333535175()()(888256C C+=8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.~(0,5)X U24420x Xx++=解随机变量X的概率密度为105,()50,,xf x<=⎧⎪⎨⎪⎩≤其它,若方程有实根, 则≥0, 于是≥2. 故方程有实根的概率为21632X-2XP{≥2}=2X21{2}P X-<1{P X=-<<1x=-.1=9. 设随机变量.)2,3(~2NX(1) 计算, , , ；{25}P X<≤{410}P X-<≤{||2}P X>}3{>XP(2) 确定c使得{}{};P X c P X c>=≤(3) 设d满足, 问d至多为多少？{}0.9P X d>≥解(1) 由P{a<x≤b}=P{公式,33333}()()22222a Xb b aΦΦ-----<=-≤得到P{2<X≤5}=,(1)(0.5)0.5328ΦΦ--=P{-4<X≤10}=,(3.5)( 3.5)0.9996ΦΦ--==+{||2}P X>{2}P X>{2}P X<-=1+=0.6977,23(2Φ--23()2Φ--=1=0.5 .}3{>XP33{3}1()1(0)2P XΦΦ-=-=-≤(2) 若,得1,所以{}{}≤P X c P X c>={}{}P X c P x c-=≤≤{}0.5P X c=≤由=0推得于是c =3.(0)Φ30,2c -=(3) 即1, 也就是{}0.9≥P Xd >3()0.92d Φ--≥,3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥因分布函数是一个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥解得.32( 1.282)0.436d +⨯-=≤10. 设随机变量, 若, 求.2~(2,)XN σ{04}0.3P X <<={0}P X <解 因为所以. 由条件可知()~2,X N σ2,~(0,1)XZ N μσ-={04}0.3P X <<=,02242220.3{04}{}((X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--于是, 从而.22(10.3Φσ-=2(0.65Φσ=所以.{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1(0.35ΦΦσσ-=-=习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则的分布函数为( ).31Y X =+()G y (A) . (B) . 11(33F y -(31)F y +(C) .(D).3()1F y +1133()F y -解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设令, 则( ).()~01,XN ,2Y X =--~Y (A). (B). (C). (D).(2,1)N --(0,1)N (2,1)N -(2,1)N 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设, 求Z 所服从的分布及概率密度.~(1,2),23X N Z X =+解 若随机变量, 则X 的线性函数也服从正态分布, 即2~(,)XN μσY aX b =+ 这里所以Z .2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++1,μσ==~(5,8)N 概率密度为.()f z =2(5)16,x x ---∞<<+∞3. 已知随机变量X 的分布律为X -10137P0.370.050.20.130.25(1) 求Y ＝2－X 的分布律；　(2) 求Y ＝3＋X 2分布律.解 (1)2－X -5-1123P0.250.130.20.050.37(2)3＋X 2341252P0.050.570.130.254. 已知随机变量X 的概率密度为＝()X f x 1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩　，　其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解 先求Y 的分布函数:)(y F Y =≤≤≥)(y F Y {P Y }{2y P X =-}{y P X=2}y -=1-.1{2}P Xy =-<-2()d yX f x x --∞⎰于是可得Y 的概率密度为=()(2)(2)Y X f y f y y '=---12(2)ln 20,.,124,其它y y -⎧<-<⎪⎨⎪⎩即121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量的概率密度.2Y X =解 由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =⎧-<<⎪⎨⎪⎩因为对于0<y <4,≤≤≤X .(){Y F y P Y =2}{y PX=}{yP =(X X F F =-于是随机变量的概率密度函数为2YX =()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知.~(5,0.2)X B (1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=.23358.02.0C (2) 至多有3件次品的概率是.k k k kC-=∑5358.02.02. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？(2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,0.1),P {X =k }=,k =0,1, (5)k kk C -559.01.0(1)所求的概率是P {X =2}=;0729.09.01.03225=C (2)所求的概率是P {X ≥1}=1;40951.0)1.01(5=--(3)所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4)所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856.3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=<⎧⎪⎨⎪⎩且已知, 求常数k , θ.1{1}2P X >=解 由概率密度的性质可知得到k =1.e d 1xkx θθ-+∞=⎰由已知条件, 得.111e d 2xx θθ-+∞=⎰1ln 2θ=4. 某产品的某一质量指标, 若要求≤X ≤≥0.8, 问允2~(160,)X N σ{120P 200}许最大是多少?σ解 由≤X ≤{120P }200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=≥0.8,404040((1(2(1ΦΦΦσσσ--=-得到≥0.9, 查表得≥1.29, 由此可得允许最大值为31.20.40()Φσ40σσ5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A ; (2) P {0<X <1}; (3) X 的分布函数.解 (1) 由于即故2A = 1,得||()d e d 1,x x x A x ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰2e d 1x A x +∞-=⎰到A =.12所以φ(x ) =e -|x |.12(2) P {0<X <1} =111111e e d (e )0.316.222xxx ----=-=≈⎰(3) 因为 得到||1()e d ,2xx F x x --∞=⎰当x <0时, 11()e d e ,22x x xF x x -∞==⎰当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222x x x xF x x x ---∞=+=-⎰⎰所以X 的分布函数为1,0,2()11,0.2xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩e e ≥。