《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。

2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。

3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = ,b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。

7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。

8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。

2100xx≥100 ∴ϕ(x)=0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。

EX = np =DX = npq = ，解之得：n = 8 ，p =10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝95，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。

解：11.随机变量X ～N （2， σ2），且P （2＜X ＜4）=，则P （X ＜0）=＿＿＿＿＿设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则12. 学期望)(2Xe X E -+= ___4/3________ 数13. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X －2的期望E (Z)＝3EX-2=3x2-2=4 。

14．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X) = __2_______. D (X) = __2___________.∴)0(2舍==λλ15. 若随机变量ξ服从参数λ=的指数分布，则其概率密度函数为：=)(x φ⎩⎨⎧<≥-,00,005.005.0x x e x；E ξ= 20 ；D ξ= 400 。

16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为，活到15岁以上的概率为，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为286.0727.02.0)10()15()10/15(===>>=>>ξξξξP P P17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 3(4)=解：算：利用泊松定理作近似计,99.0*01.0*4300)4()01.0,300(~2964⎪⎪⎭⎫⎝⎛==X P b X31,3294)0(94)1(95)1(2==⇒=∴===〈⇒=≥p q q X p X p X p一小时内使用电话的用户数服从301.0300=⨯==np λ的泊松分布18 通常在n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为 np =λ ，方差为np =λ19．618.0)3(,045.0)5(),,(~2=≤=-<X P X P N X σμ，则μ＝＿＿＿＿＿，σ＝＿＿4＿＿＿＿。

（将X 标准化后查标准正态分布表）二、单项选择：1．设随机变量X 的密度函数为：3, 0<x<1其他则使P(x>a)=P(x<a)成立的常数a = ( A ) （其中0<a<1） A ．421 B ．42C ．21 D ．1－421 解：根据密度函数的非负可积性得到：2．设F 1（X ）与F 2（X ）分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使F （X ）＝aF 1(x)－bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（ A ） A ．a=53, b =－52 B ．a=32, b=32C ．a=－21, b=23D ．a=21, b=－23F(+∞)=a F 1 (+∞)-BF 2 (+∞)=11=-⇒b a3. 已知随机变量的分布函数为F （x ）= A + B arctgx ，则：（ B ） A 、A=21 B=π B 、A=21 B=π1 C 、 A=π B=21 D 、A=π1B=21 解：要熟悉arctgx 的图像4. 设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和X 2，而且X 1< X 2，X 取值X 1的概率为，又已知E （X ）＝，D （X ）＝，则X 的分布律为（ ） A. B.C. D.① =EX=+② DX=EX 2-(EX)2 联系①、②解得X 1=1，X 2=25．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）A ．6元B ．12元C ．元D ．9元设ξ表示得奖金额，则其分布律为：ξ 6 （3张2元的） 9 （2张2元，1张5元的） 12（1张2元，2张5元的）P 31038c c 3101228c c c 3102218c c c 故期望值为：6. 随机变量X 的概率分布是：X 1 2 3 4 P61 a 41b 则：（ D ） A 、a=61, b=41 B 、a=121, b=122 C 、a=121, b=125 D 、a=41, b=317. 下列可作为密度函数的是：（ B ）A 、=)(x ϕ 0112x + 0≤>x xB 、=)(x ϕ 0)(a x e -- 其它a x >C 、=)(x ϕ 0sin x其它],0[π∈xD 、=)(x ϕ 03x 其它11<<-x依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案8. 设X 的概率密度为)(x ϕ，其分布函数F （x ），则（ D ）成立。

A 、)()(x F x P =+∞= B 、1)(0≤≤x ϕ C 、P )()(x x ϕ=+∞= D 、P )()(x F x ≥+∞<9. 如果)(~x x ϕ，而=)(x ϕ 02x x - 其它2110≤<≤≤x x ，则P （x 5.1≤）=（ C ）A 、⎰-5.10)2(dx x B 、⎰-5.10)2(dx x x C 、 D 、⎰∞--5.1)2(dx x10. 若随机变量X 的可能取值充满区间＿＿＿＿＿＿，那么Sinx 可以作为一个随机变量的概率密度函数。

（ B ）A ．[0，π]B ．[π,π] C ．[0, π] D ．[π, π] 依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X 为出现次品的个数，则E(X)为＿＿＿＿。

（ D ） A ．B ．0.2375C ．D ．此题X 服从二项分布b(5,,EX=np=5*=12. 设X 服从二项分布，若（n ＋1）P 不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？（ D ）A ．K ＝（n ＋1）PB ．K ＝（n ＋1）P －iC ．K ＝nPD ．K ＝[（n ＋1）P ]解：根据二项分布的正态近似知，当X 接近于EX=np 时取到最大值，由于（n ＋1）P 不是整数，因此需要寻找最接近np 的整数。

13．设X 服从泊松分布，若λ不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？ （ B ）A ．λB ．[λ]C ．λ－1D ．λ＋1解：根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知：当EX=λ时取到最大值，因为λ不是整数，而K 必须为整数，因此需要对λ取整 14. )1,0(~N X ，Y=2X －1，则Y~（ C ）A 、N （0，1）B 、N （1，4）C 、N （-1，4）D 、N （-1，3） 15. 已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则其标准差为： （ C ） A ．2B ．1/4C ．1/2D ．22随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/216．当满足下列（ ）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。

（ D ） A ．n λ→∞→np , （二项分布的泊松近似） B ．0,→∞→p nC ．λ→→np p ,0D ．∞→n17. 设X ～(10,25)N ,已知8413.0)1(0≈Φ，97725.0)2(0≈Φ，则}{5p X <和}{20p X >的概率分别为 [ C ]A. ,B. ,C. ,D. ,三、计算题：1. 设随机变量X 的密度函数是连续型函数，其密度函数为：0＜X ≤1B －X 1＜X ≤2其它试求：（1）常数A 、B 。

（2）分布函数F （x ）（3）P （21＜23≤X ） 解：（1）由X 为连续型随机变量，ΛΛA B =-⇒1①同时：⎰=∞-∞+1)(dx x f ΛΛ52=+⇒B A ②①、②式联系解得：A=1，B=2 （2）⎰∞-=,)()(dt t f xx F 当⎰==≤<2210)(,1x tdt x x F x o ; 当⎰⎰--=-+=-+=≤<12121)212(21)2(101)(,2122x x x t t dt t xxdx x F x ;当x>2时，F(x)=1. （3）43)21(211)23(21232)21()23()2321(22=⨯--⨯-⨯=-=≤<F F X P 2. 设已知X~)(x ϕ= 02x其它10<<x ，求：① P （5.0≤X ）② F （x ） 解：① 41255.00==≤⎰xdx X P ）（ ②③3. 设随机变量X 的密度函数为： ax 0<x <2f(x)= cx + b 2≤x≤4其他已知 EX ＝2， P （1<X<3）＝43，求a 、b 、c 的值 解：（1）①⎰⎰=++=++1262)(2402b c a dx b cx axdx②2635638)(240222=++=++=⎰⎰b c a dx bx cx dx ax EX③⎰⎰=++=++=<<432523)(2312)31(b c a dx b cx axdx X p 4．假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位：t ）,已知X 服从[2000,4000]上的均匀分布，设每出售这种商品1t ，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家的收益最大？ 解：Y ：每年该商品的出口量 R ：收益X 的密度函数：-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,040002000,20001)(x x f ，∴y=3500时，利益最大5． 设某种商品每周的需求量X 服从区间 [10，30]上均匀分布，而经销商店进货量为 [10，30] 中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量？ 解：设进货量为a, 则利润为：9280≥EMa 若 即：α+350α+5250≥9280解得：2032≤α≤26 ∴取最小α=21上式：其他30100201)(≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-x x f x6. 某高级镜片制造厂试制成功新镜头，准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：① 直接进口，② 租用设备，③ 与外商合资。