历年高考数学真题精选（按考点分类）专题46 推理与证明（学生版）一．选择题（共9小题）1．（2019•新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019•新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151(0.618--≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016•新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C︒，B点表示四月的平均最低气温约为5C ︒，下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0C ︒以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20C ︒的月份有5个5．（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6．（2014•北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人7．（2013•广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，⋯，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ，z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )A．(y，z，)w S∈∈，(x，y，)w S∈，(x，y，)w S∉B．(y，z，)w SC．(y，z，)w S∉∉，(x，y，)w S∉，(x，y，)w S∈D．(y，z，)w S8．（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求π=⋯其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据 3.14159..判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈9．（2011•江西）观察下列各式：27497的末两位数字=，⋯，则2011=，37343=，472401为()A．01B．43C．07D．49二．填空题（共3小题）10．（2016•新课标Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．11．（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题46 推理与证明（教师版）一．选择题（共9小题）1．（2019•新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【答案】A【解析】由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲>乙．乙：丙>乙且丙>甲．丙：丙>乙．只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙>乙，乙>甲，乙预测不正确，而丙>乙正确，∴只有丙>甲不正确，∴甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲>乙，乙>丙．2．（2019•新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此0.618外，若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm 【答案】B【解析】头顶至脖子下端的长度为26cm ，说明头顶到咽喉的长度小于26cm ， 510.618-≈， 可得咽喉至肚脐的长度小于26420.618cm ≈，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-，可得肚脐至足底的长度小于42261100.618+=，即有该人的身高小于11068178cm +=， 又肚脐至足底的长度大于105cm ，可得头顶至肚脐的长度大于1050.61865cm ⨯≈， 即该人的身高大于65105170cm +=，3．（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了4．（2016•新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最︒，B点表示高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C︒，下面叙述不正确的是()四月的平均最低气温约为5CA．各月的平均最低气温都在0C︒以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20C︒的月份有5个【答案】D︒以上，正确【解析】A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0CB．七月的平均温差大约在10︒左右，一月的平均温差在5︒左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10︒，正确D．平均最高气温高于20C︒的月份有7，8两个月，故D错误，5．（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则() A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a 个，则a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为a ，其中红球x 个，黑球y 个，x y a +=．则乙中有x 个球，其中k 个红球，j 个黑球，k j x +=；丙中有y 个球，其中l 个红球，i 个黑球，i l y +=；黑球总数a y i j =++，又x y a +=，故x i j =+由于x k j =+，所以可得i k =，即乙中的红球等于丙中的黑球．6．（2014•北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个， 语文成绩得B 得也最多只有一个，得C 最多只有一个，因此学生最多只有3人， 显然()()()AC BB CA 满足条件，故学生最多有3个．7．（2013•广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，⋯，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ，z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )A ．(y ，z ，)w S ∈，(x ，y ，)w S ∉B ．(y ，z ，)w S ∈，(x ，y ，)w S ∈C ．(y ，z ，)w S ∉，(x ，y ，)w S ∈D ．(y ，z ，)w S ∉，(x ，y ，)w S ∉【答案】B 【解析】特殊值排除法，取2x =，3y =，4z =，1w =，显然满足(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，此时(y ，z ，)(3w =，4，1)S ∈，(x ，y ，)(2w =，3，1)S ∈，故A 、C 、D 均错误；只有B 成立，故选B ．8．（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据 3.14159..π=⋯判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈B ．d ≈C ．d ≈D ．d ≈【答案】D【解析】由34()32d V π=，解得d =a b ，则6b aπ= 选项A 代入得69 3.37516π⨯==；选项B 代入得632π==； 选项C 代入得6157 3.14300π⨯==；选项D 代入得116 3.14285721π⨯== 由于D 的值最接近π的真实值9．（2011•江西）观察下列各式：2749=，37343=，472401=，⋯，则20117的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49【答案】B【解析】根据题意，2749=，37343=，472401=，则57在47的基础上再乘以7，所以末两位数字为07，进而可得67的末两位数字为49，77的末两位数字为43，87的末两位数字为01，97的末两位数字为07， ⋯分析可得规律：n 从2开始，4个一组，7n 的末两位数字依次为49、43、01、07， 则20117的与37对应，其末两位数字43；故选：B ．二．填空题（共3小题）10．（2016•新课标Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．【答案】1和3【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．11．（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．【答案】A【解析】由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．。