数学与统计学院2013级统计学专业（本科）
《应用随机过程》期末试卷（B ）
2015 — 2016 学年 第一学期 考试时间120 分钟 满分100分
一、判断题（每题2分，满分10分）
1.布朗运动和排队模型都属于随机过程。

（ ）
2.如果随机过程{}(),X t t T ∈是严平稳过程，则它也是宽平稳过程。

（ ）
3.Poisson 过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程。

（ ）
4.i 为零常返状态⇔0lim )
(=∞
→n ii
n p。

（ ） 5.如果状态i 为非常返状态，且是非周期的，则i 是遍历状态。

（ ）
二、填空题（每空2分，满分20分）
1.设{}(),X t t T ∈是平稳过程，则[()]E X t = 。

2.乘客以10人/小时的平均速率到达售票处，则[0,t]内到达的乘客数{}()N t 是强度为 的Poisson 过程。

3.自相关函数(,)X R s t = 。

4.更新过程的时间间隔Λ,,21X X 是分布函数为F 的独立同分布序列。

如果允许1X 服从其他分布G ，则称由Λ,,21X X 确定的计数过程是 。

5. 有“开”、“关”两种状态的更新过程，称作 。

6.有一类随机过程，它具备 ，即要确定过程将来的状态，只需知道它现在的状态，而不需要知道它过去的状态。

7.设Markov 链一步转移概率矩阵为()ij p P =，n 步转移矩阵为()
)
()(n ij n p P =，则二者
之间的关系为 。

8.在Markov 链中，若()1
1n ii ii n f f ∞
===∑，则称状态i 为 。

9.更新过程中有()N t n ≥⇔ 。

10.若状态j i ,同属一类，则两状态的周期)()(j d i d 与的关系是 。

三、计算题（每题10分，满分30分）
1.假设某天文台观测到的流行数是一个泊松过程，根据以往资料统计为每小时平均观测到5颗流星。

试求：上午8:00 -12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率？观察到3颗的概率？
2.设顾客在[0,t)内进入商场的人数是一泊松过程，平均每10min 进入25人。

再设每位顾客购物的概率为0.2，而每位顾客是否购物相互独立 ，且与进入商场的顾客数相互独立。

令)(t X 表示[0,t)时段内在该商场购物的顾客人数。

(1)求一天在该商场购物的平均顾客数； (2)相邻两购物顾客的购物时间间隔的分布。

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3.某控制器用一节电池供电，设电池的寿命2~(25,2)(1,2,)i X N i =L ，电池失效
时需要去仓库领取，领取新电池的时间~(0,1)(1,2,)i Y U i =L 。

求长时间工作时，控制器更换电池的速率。

四、计算题（每题10分，满分20分）
1. 设{}114i P X ==，{}3
24
i P X ==，求{(2)}P N k =。

（10分）
2. 设{}(),1X n n ≥为齐次Markov 链，状态空间{}1,2,3,4S =,其转移概率为
124411
1
1,1,,2,33
ii ii ii P P P P P i +-====== 其余为0，试求： （1）从状态3经过两步到达状态3的概率；（5分） （2）从状态2经过四步达到状态4的概率。

（5分）
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五、综合题（每题10分，满分20分）
1.设 Markov 链的状态空间为{
}4,3,2,1=S ，其一步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=02
10
2
10323100001002121P （1）画出状态转移图；（4分） （2）对状态进行分类。

（6分）
2.设齐次马氏链{}(),1X n n ≥的状态空间{}1,2,3S =，其一步转移概率为
1
1022110221102
2
P ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（1）判断此Markov 链是否具有遍历性；（5分） （2）若具有遍历性，求出极限分布。

（5分）
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