（1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。
2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。
（2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ••=。
2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===•••。
3）c b c a c b a •••+=+)(。
（3）平面向量的基本定理。
21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。
（4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =•，数量积b a •等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。
（5）平面向量的运算法则。
1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。
2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。
3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r。
4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。
5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a •b ＝1212()x x y y +。
（6）两向量的夹角公式：cos θ（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。
（7）平面两点间的距离公式：,A B d ＝||AB u u u r （A 11(,)x y ，B 22(,)x y ）。
（8）向量的平行与垂直：设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，且b ≠0，则有： 1）a ||b ⇔b ＝λa 12210x y x y ⇔-=。
2）a ⊥b （a ≠0）⇔ a ·b ＝012120x x y y ⇔+=。
（9）线段的定比分公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且12P P PP λ=u u u r u u u r，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u u r u u u r ⇔12(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u u r （11t λ=+）。
（10）三角形的重心公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则△ABC 的重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。
（11）平移公式：''''x x h x x h y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+u u u u r u u u r u u u r 。
（12）关于向量平移的结论。
1）点(,)P x y 按向量a ＝(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++。
2）函数()y f x =的图像C 按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像'C :()y f x h k =-+。
3）图像'C 按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像C :()y f x =，则'C 为()y f x h k =+-。
4）曲线C :(,)0f x y =按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像'C :(,)0f x h y k --=。
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
[1]2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
[2]4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。
3．|a·b|与|a|·|b|不等价4．由 |a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积向量的几何表示（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。
若a、b不共线，则a×b 的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b垂直，则a×b=0。
向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=-b×a（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、三向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合积具有下列性质：1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c 构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4．(a×b)·c=a·(b×c)7.例题正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK？设AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚FH=-a+c+c'+b LB=FH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚：﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0. ∴LB⊥GK8、三向量二重向量积由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：二重向量叉乘化简公式及证明。