2011年3月江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市高三教学情况调查暨高考数学一模试卷Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1、若集合U=R，A={x|x+2＞0}，B={x|x≥1}，则A∩C u B=_________．2、在平面直角坐标系xOy中，双曲线8kx2﹣ky2=8的渐近线方程为_________．3、函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为_________．4、已知i 是虚数单位，计算的结果是_________．5、已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）=_________．6、已知常数t 是负实数，则函数的定义域是_________．7、某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5：2：3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是_________．8、右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i＞_________．9、已知圆O的方程为x2+y2=2，圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是_________．10、已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=_________．11、设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是_________．12、已知过点O的直线与函数y=3x的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y=9x的图象于C点，当BC∥x轴，点A的横坐标_________．13、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为_________．14、设m∈N，若函数存在整数零点，则m的取值集合为_________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、设平面向量=（cosx，sinx），，，x∈R，（Ⅰ）若，求cos（2x+2α）的值；（Ⅱ）若，证明和不可能平行；（Ⅲ）若α=0，求函数的最大值，并求出相应的x值．16、在菱形ABCD中，∠A=60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE 和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G．（1）证明：直线BG∥平面FDE；（2）判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．17、如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．18、已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l 与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．19、设函数f（x）=x（x﹣1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．20、设数列{a n}是一个无穷数列，记，n∈N*．（1）若{a n}是等差数列，证明：对于任意的n∈N*，T n=0；（2）对任意的n∈N*，若T n=0，证明：a n是等差数列；（3）若T n=0，且a1=0，a2=1，数列b n满足，由b n构成一个新数列3，b2，b3，…，设这个新数列的前n项和为S n，若S n可以写成a b，（a，b∈N，a＞1，b＞1），则称S n为“好和”．问S1，S2，S3，…，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由．数学Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题．．．．．．．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A、过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，证明：．B、已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．C、已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线上的动点，试求线段AB长的最大值．D、已知m，n是正数，证明：≥m2+n2．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别在棱AA1和CC1上（含线段端点）．（1）如果AE=C1F，试证明B，E，D1，F四点共面；（2）在（1）的条件下，是否存在一点E，使得直线A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，确定E 的位置；如果不存在，试说明理由．23、（1）当k∈N*时，求证：是正整数；（2）试证明大于的最小整数能被2n+1整除（n∈N*）答案与评分标准一、填空题（共14小题）1、若集合U=R，A={x|x+2＞0}，B={x|x≥1}，则A∩C u B=（﹣2，1）．考点：交、并、补集的混合运算。

专题：计算题。

分析：先利用集合的补集的定义求出C u B，再利用交集的定义求出C u B∩A．解答：解：∵C u B={x|x＜1}，A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，∴C u B∩A={ x|x＜1}∩{x|x＞﹣2}={x|﹣2＜x＜1}，故答案为：（﹣2，1）．点评：本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，是容易题．2、在平面直角坐标系xOy中，双曲线8kx2﹣ky2=8的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质。

专题：计算题。

分析：先把双曲线8kx2﹣ky2=8的方程化为标准形式，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线8kx2﹣ky2=8即，故双曲线8kx2﹣ky2=8的渐近线方程为，即，故答案为．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得双曲线的渐近线方程．3、函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法。

专题：计算题。

分析：化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．解答：解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力．4、已知i是虚数单位，计算的结果是．考点：复数代数形式的混合运算。

专题：计算题。

分析：先把分式的分子和分母同时乘以3+4i，再计算出（2+i）2代入式子，利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质化简．解答：解：====，故答案为：．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．5、已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）=﹣2．考点：奇偶函数图象的对称性；函数的值。

专题：常规题型。

分析：先由图象关于直线x=﹣2对称得f（﹣4﹣x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f （x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（﹣9）=﹣f（1），从而求出所求．解答：解；∵图象关于直线x=﹣2对称∴f（﹣4﹣x）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）f（4+x）=﹣f（x+4）=f（x）∴f（x+8）=f（x）∴f（x）是以8为周期的周期函数．f（﹣9）=﹣f（1）=﹣2故答案为：﹣2点评：本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的，属于基础题．6、已知常数t是负实数，则函数的定义域是[3t，﹣4t]．考点：函数的定义域及其求法。

专题：计算题。

分析：由二次根式有意义的条件知12t2﹣tx﹣x2≥0，其中t为常数，则该不等式为关于x的一元二次不等式，然后按一元二次不等式的解法求之即可．解答：解：由题意得12t2﹣tx﹣x2≥0，即﹣x2﹣tx+12t2≥0亦即﹣（x﹣3t）（x+4t）≥0因为t＜0，则解得3t≤x≤﹣4t．所以函数的定义域是[3t，﹣4t]．故答案为：[3t，﹣4t]．点评：本题考查定义域的求法，其中知识点为二次根式有意义的条件及一元二次不等式的解法．7、某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5：2：3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是．考点：等可能事件的概率；系统抽样方法。