（1）求证：AC1∥平面 PBD；
（2）求证：BD⊥A1P．
16．（14
分）在△ABC
中，内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c，cosB=
4．
5
（1）若 c＝2a，求������������������������的值；
������������������������
（2）若 C﹣B= ������，求 sinA 的值．
e=
12，A，B
是椭圆的左、右顶点，P
是椭圆上不同于
A，B
的
一点，直线 PA，PB 倾斜角分别为 α，β，则������������������������������������((������������−+������������)) =
．
10．在△ABC
所在的平面上有一点
→
P，满足������������
4
17．（14
分）在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C：������������22
+
������2 ������2
=1（a＞b＞0）的右焦点为
F（1，0），且过
点(1，
3)．过点
F
且不与
x
轴重合的直线
l
与椭圆
C
交于
A，B
两点，点
P
→
在椭圆上，且满足������������
+
→
������������
������．已知
3
CD＝4m，CE＝2m．
（1）当 M，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度 MN；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度 MN 的最小值．
19．（16 分）已知函数 f（x）= 1x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线 C．
3
（1）求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标取值范围；
→
=t������������
2
（t＞0）．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若������ = √2，求直线 AB 的方程．
2
18．（16 分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD，CE 为路灯灯
2
杆，CD⊥AB，∠DCE=
2������，在
3
E
处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN=
值范围是
．
7．在正四棱锥 S﹣ABCD 中，点 O 是底面中心，SO＝2，侧棱 SA＝2√3，则该棱锥的体积为
．பைடு நூலகம்
8．若函数
f（x）＝cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于直线������
=
������ 对称，则
12
θ＝
．
9．已知椭圆������������22
+
������2 ������2
=1（a＞b＞0）的离心率
（2）求矩阵 A 的逆矩阵．
22．（10 分）在极坐标系中，已知 A（1，������），B（9，������），线段 AB 的垂直平分线 l 与极轴交于点 C，求 l 的
3
3
极坐标方程及△ABC 的面积．
������(������ + 1) − 2，������＞0
23．（10
分）已知函数������(������)
．
1
14．已知 f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0 或 g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则 m 的取值范围是
．
二、解答题（共 10 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（14 分）如图，在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是菱形，点 P 是侧棱 C1C 的中点．
+
→
������������
+
→
������������
=
������→������，则������→→������⋅������→→������
=
．
������������⋅������������
11．如图，将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列 a1，a2，a5，…
江苏省南通市 2020 届四校联盟高三模拟测
数学试卷
一、填空题（共 14 题，每题 5 分，计 70 分.不写解答过程，把答案写在答题纸指定位置上）
1．已知集合 A＝{x||x﹣3|≤1}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}，则 A∩B＝
．
2．复数������ = 2 ，（其中 i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数为
（3）试问：是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方
程；若不存在，说明理由．
20．（16 分）设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，且 anSn+1﹣an+1Sn＝an+1﹣λan，对一 切 n∈N*都成立．
（1）当 λ＝1 时；
．
1−������
3．设向量���→���
→
=（1，k），������
=（﹣2，k﹣3），若���→���∥���→���，则实数
k
的值为
．
4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为
．
5．函数 f（x）= √������������������1(4������ − 3)的定义域为
．
2
6．已知命题 p：﹣1＜x﹣a＜1，命题 q：（x﹣4）（8﹣x）＞0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取
①求数列{an}的通项公式； ②若 bn＝（n+1）an，求数列{bn}的前 n 项的和 Tn； （2）是否存在实数 λ，使数列{an}是等差数列如果存在，求出 λ 的值；若不存在，说明理由． 21．（10 分）已知矩阵 A= [������������ −1 1]，其中 a，b∈R，点 P（2，2）在矩阵 A 的变换下得到的点 Q（2，4）． （1）求实数 a，b 的值；
=
{ 2(������
+
������
1)
+
������，������＜0
是奇函数．
������
（1）求实数 m，n 的值；
（2）若对任意实数 x，都有 f（e2x）+λf（ex）≥0 成立．求实数 λ 的取值范围．
3
24．（10 分）已知（1+x）2n+1＝a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1，n∈N*．记 Tn= ∑������������=0 （2k+1）an﹣k． （1）求 T2 的值；
构成一个公比为 2 的等比数列，从第 2 行起，每一行都是一个公差为 d 的等差数列，若 a3＝5，a86＝524，
则 d＝
．
12．已知
x∈（0，3），则
y=
2������−8 ������−3
+
1 的最小值为
2������
13．若函数 f（x）＝x3﹣ax+|x﹣2|，x＞0 存在零点，则实数 a 的取值范围为