从方程式(1.3从方程式(1.3-2)
ɺ ɺ ds = [( dx) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2 ]1 2 = dz[1 + x 2 + y 2 ]1 2
有
(
dz 2 dx dy ) = 1 − ( )2 − ( )2 ds ds ds
(1.3-12)
上式两边ds对求导，且同乘以n 上式两边ds对求导，且同乘以n，得
[
]
§1.4 哈 密 顿 表 述
为了计算光学成像，可与经典力学的情况相类似，在光学 为了计算光学成像，可与经典力学的情况相类似， 里也可以导出哈密顿表述。 里也可以导出哈密顿表述。 拉格朗日表述应用在许多情况下是很不方便的， 拉格朗日表述应用在许多情况下是很不方便的，解拉格朗 日方程式一个二阶微分方程问题。 日方程式一个二阶微分方程问题。
(1.4-4)
由方程式(1.4-4)能清楚地看出， 由方程式(1.4-4)能清楚地看出，实际上是用两个新的变量代替 能清楚地看出 了两个旧变量， 五个变量的函数。 了两个旧变量，Ｈ是x, y, p, q. z五个变量的函数。与拉格朗日函数 相比变两个变量，但消除了两个二次导数的变量， 相比变两个变量，但消除了两个二次导数的变量，增加了两个 一阶独立变量。 1.4式可立即列出下列哈密顿方程式。 一阶独立变量。由（1.4-4）式可立即列出下列哈密顿方程式。
ɺ p = ∂L / ∂x
ɺ q = ∂L / ∂y
(1.4-1)
如以前一样，圆点表示对于 z的微商，而 L是拉格朗日量. 的微商， 是拉格朗日量. 如以前一样， 利用了方程式(1.3-2)。把方程式(1.3-4)的 代入后， 利用了方程式(1.3-2)。把方程式(1.3-4)的 L代入后，则得到
p = ɺ nx ɺ ɺ (1 + x 2 + y 2 ) 1
2
= n
dx ds
(1.4-2)
ɺ ny dy q = = n ɺ ɺ ds (1 + x 2 + y 2 ) 1 2
由于 dx/ds和dy/ds表示在点(x,y,z)上光线沿着x和y方向的方向 dx/ds和dy/ds表示在点 x,y,z)上光线沿着 表示在点( 上光线沿着x 余弦， ndx/ds和 ndy/ds就称为光线的光学方向余弦。 就称为光线的光学方向余弦 余弦， p = ndx/ds和q = ndy/ds就称为光线的光学方向余弦。 现在我们用下列关系式由 L定义光学哈密顿量 Ｈ，
cosγ 0= 1
子午光线与y 子午光线与y无关，题中出现γ04 ，只能将 n = n 0 1 − α 2 x 2 ds = n 1 + x 2 dz ɺ 展开，并保留到γ04项（ γ0 与
ɺ x, x 是线性关系）。
1 L n ɺ T (γ 0 ) = ∫ n0 1 − α 2 x 2 1 + x 2 dz = 0 c 0 c
= n0 c
L
∫
L
0
ɺ ɺ [1 + x 2 − α 2 x 2 − α 2 x 2 x 2 ]1 2 dz
1 1 ɺ ɺ ɺ ɺ [1 + ( x 2 − α 2 x 2 − α 2 x 2 x 2 ) − ( x 2 − α 2 x 2 − α 2 x 2 x 2 ) 2 + …]dz ∫0 2 8
ɺ ɺ p = ∂L / ∂x q = ∂L / ∂y
ɺ p= d ∂L ∂L = ɺ dz ∂x ∂x
ɺ q d ∂L ∂L = dz ∂y ∂y ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ 可以得到 dH = xdp + ydq − pdx − qdy −
∂L dz ∂z
或
d dx dx d dy dy ∂n dx ∂n dy [ (n )]( ) + [ (n )]( ) = + ds ds ds ds ds ds ∂x ds ∂y ds
结论：光线方程只有两个独立分量。
习题1.10. 证明子午光线(1.3-24)行进距离L 习题1.10. 证明子午光线(1.3-24)行进距离L所需的时间由下式决定
即得到光线方程式的 z分量用x，y分量的表达式。 分量用x
进一步整理可变成
dn dx 2 dx d 2 x dn dy 2 dy d 2 y ∂n dx ∂n dy [ ( ) +n ]+[ ( ) + n ]= + 2 2 ds ds ds ds ds ds ds ds ∂x ds ∂y ds
dn dx d 2 x dx dn dy d 2 y dy ∂n dx ∂n dy 或 [ ( ) + n 2 ]( ) + [ ( ) + n 2 ]( ) = + ds ds ds ds ds ds ds ds ∂x ds ∂y ds
1 4 n0 L (1.3-25) [1 − γ 0 + … ] 8 c 对傍轴光线，γ0 ≈ 0,因而所需时间与γ0无关，这就是在自聚焦光纤 0,因而所需时间与 中脉冲色散非常小的原因 。 T (γ 0 ) =
解：时间= 解：时间=光程 / 真空中光速， T (γ 0 ) = s / c =
1 L ∫0 n ( x, y , z ) ds c
同时我们还应注意到
(n − p − q )
2 2 2 12
n ɺ n2 x2 ɺ n2 y2 12 = − ] = [n − ɺ ɺ (1 + x 2 + y 2 )1 2 ɺ ɺ ɺ2 + y2 1 + x2 + y 2 ɺ 1+ x
2
于是
H = −[n 2 ( x, y, z ) − p 2 − q 2 ]1 2
表达关系，代入方程式(1.3-11’)右边， 方程式(1.3-11’)可写成 表达关系，代入方程式(1.3-11’)右边， 方程式(1.3-11’)可写成
dx d 2 x dy d 2 y dn ∂n dx ∂n dy dn dx 2 dy 2 [1 − ( ) − ( ) ] − n −n = − − 2 2 ds ds ds ds ds ds ds ds ∂x ds ∂y ds
n = n0 1 − α 2 ( x 2 + y 2 )
∵
ɺ ɺ ds = n 1 + x 2 + y 2 dz
x( z ) =
sin γ 0
α
sin(
αz ) cos γ 0
ɺ x( z ) =
sin γ 0 cos γ 0
cos
(
α cos γ 0
z
)
在自聚焦光纤中，可依傍轴条件下 sinγ 0= γ 0 ， γ ɺ x = γ 0 cos(αz ) ∴ x( z ) = 0 sin(αz ) α
利用哈密顿方程式， 利用哈密顿方程式，我们可以探索在旋转对称光学系统 中的光线。所谓旋转对称， 中的光线。所谓旋转对称，就意味着系统的性质在圆心位 于轴上的任何圆的周线上都是相同的，这个轴就是系统的 于轴上的任何圆的周线上都是相同的， 对称轴。 对称轴。 即使对于旋转对称系统，由于哈密顿量 Ｈ是x, y, p ,q 和 即使对于旋转对称系统， z的无理函数，因此解哈密顿方程式仍是困难的，因而只能 的无理函数，因此解哈密顿方程式仍是困难的， 寻找近似解。最低阶的近似导致傍轴光学或高斯光学， 寻找近似解。最低阶的近似导致傍轴光学或高斯光学，它主 要与靠近系统轴并与轴成较小夹角行进的光线有关。 要与靠近系统轴并与轴成较小夹角行进的光线有关。在这样 近似下将证明它能够形成完善的象。与此相偏离， 近似下将证明它能够形成完善的象。与此相偏离，便发生系 统的象差。 统的象差。
d ∂L ∂L = ɺ dz ∂x ∂x
d dz ∂L ∂L ∂y = ∂y ɺ
而在哈密顿表述中是将拉格朗日表述中的二阶微分方程问 题转换为一阶微分方程问题，从而简化解决问题的过程。 题转换为一阶微分方程问题，从而简化解决问题的过程。在 光学哈密顿表述里，将另外引入两个独立变量（ 光学哈密顿表述里，将另外引入两个独立变量（将微分方程 变为一阶微分方程，相应增加方程数量， 变为一阶微分方程，相应增加方程数量，这个方法将在第二 章里用来计算各种象差系数的显式）。 章里用来计算各种象差系数的显式）。 用下列关系式定义广义动量p 用下列关系式定义广义动量p和q ：
=
n0 c
1 1 1 ɺ ɺ ɺ [1 + ( x 2 − α 2 x 2 ) − α 2 x 2 x 2 − ( x 2 − α 2 x 2 ) 2 + …]dz ∫0 2 2 8
L
n = 0 c
1 1 ɺ ɺ [1 + ( x 2 − α 2 x 2 ) − ( x 2 + α 2 x 2 ) 2 + …]dz ∫0 2 8
ɺ x = ∂H / ∂p
ɺ y = ∂H / ∂q
(1.4-5) (1.4-6) (1.4-7)
ɺ p = −∂H / ∂x
ɺ q = −∂H / ∂y
∂H / ∂z = −∂L / ∂z
哈密顿表述的基本方程式。 这些方程式构成了哈密顿表述的基本方程式 这些方程式构成了哈密顿表述的基本方程式。只要给出哈密顿 我们便可运用上述方程式计算光路。 量 Ｈ，我们便可运用上述方程式计算光路。
dz d 2 z dx d 2 x dy d 2 y n =− n 2 − n 2 2 ds ds ds ds dx ds
另外，n 另外，n对s求导，可有如下关系
(1.3-13)
dn ∂n dx ∂n dy ∂n dz = + + ds ∂x ds ∂y ds ∂z ds
2
(1.3-14)
2
dz d z dz 利用方程式(1.3-12)中 (1.3-13)中 利用方程式(1.3-12)中 ds 、(1.3-13)中n ds ds 2 用x和y分量表达关系， ∂n dz 代入方程式(1.3-11’)左边，将方程式(1.3-14)中 代入方程式(1.3-11’)左边，将方程式(1.3-14)中 ∂z ds 用x和y分量