分别为体积应变和体积应力。
如果用应变来表示应力，有下列关系：
x 2 x y 2 y z 2 x xy 2 xy yz 2 yz zx 2 zx
张量形式为
其中
E (1 )(1 2 ) E 2(1 )
zx
1 u w 2 z x
1 v u xy 2 x y
若记坐标变形前后的坐标x, y, z为Xi、xi， 位移为ui=Xi-xi,上式可以缩记为：
u j 1 u i ij 2 X j X i
如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变 形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。
dx
dx
我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后 为P'A'，P'点的位移为(u,v)，A'点x方向的位移为
y方向上的位移为
u u dx x v v dx x
称为拉密常数。
x y z
ij ij kk 2 ij
其矩阵形式为σ= Dε

其中
σ [ x y z xy yz zx ]T ε [ x
y z xy yz zx ]T
注意这里我们假定材料是线弹性、各向同性 的，于是应力应变的关系是线性的，其中弹性常 数只有两个。在各向异性的情况下，D的上述表 达式不再成立，具有更多的弹性常数。
一般称为Cauchy应变，保留的是一阶项，适 用于小应变的情况，在有限变形时，应变有多 种定义，常见的有：
Green
Almansi Euler
对于应力应变σ= Dε的这种较为简单 的关系，注意这里我们假定材料是线弹 性、各向同性的，于是应力应变的关系 是线性的，其中弹性常数只有两个。在 各向异性的情况下，D的上述表达式不再 成立，具有更多的弹性常数。其中横观 各向同性是常见的一种。 在一定条件下，材料不再保持为弹性 变形，将出现塑性变形，这时应力应变的 关系，不再是上述的简单关系，这将是塑 性力学研究的内容。

空间的应变分量共九 个分量，是一个对称张量， 和应力张量一样，它们遵 从坐标变换规则，同样存 在着三个互相垂直的主方 向，对应的主应变值是该 张量的特征值。这些互相 垂直的主方向构成的直角 在该应变张量的变形时， 角度不变，由主平面组成 的单元体，由正方体变为 直角长方体。在主方向构 成的坐标系中，张量分量 构成对角阵，切应变分量 为零。
第三章 应变分析
第二节 应力应变的关系
应力应变的物理关系:
在线弹性力学中，应 力应变的物理关系成线性 的广义胡克关系，对于各 向同性材料，其中，只有 两个弹性常数. 张量形式为
1 ij ij ij kk E E
当坐标系为主方 向时，切应力为零， 切应变也为零，公式 简化为
总
结
应力是物体内部的内力，是看不见的， 而变形是可以测量和观察的，尤其在平面 应力状态，我们经常通过实验的办法，测 出应变，然后，通过应力应变的物理关系， 求得应力。通过加力前后物体表面网格的 变化，也可大致判断应变的大小等情况， 从而判断应力的情况。
u x v y y w z z
v y
A
v 线段PA的转角是 x
线段PB的转角是
u y
于是，直角APB的改变量为
v u xy x y
P B A
有时用张量分量
xy
1 v u 2 x y
这样，平面上一点 的变形我们用该点x方 向上的正应变、y方向 上的正应变和xy方向构 成的直角的变化—切应 力来描述，称为应变分 量。
u x x v y y
xy
1 v u 2 x y
同样，空间一 点的变形我们用该 点x、y、z方向上 的正应变和xy、yz、 zx方向构成的直角 的变化－切应变来 描述。 张量形式为
u j 1 u i ij 2 x j xi
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1 3 3 1 2 上三式相加可得到： E
其中
1 2 E
x y z
1 2 3
x
1 w v yz 2 y z
应变和位移的关系：
已知位移，可以通过 微分关系很方便的求得应 变，但是反过来，已知应 变求位移就要通过积分， 困难大得多。 有应变就有位移，但是 有位移不一定就有应变，应 变是位置的相对变化决定的， 位移中有刚体位移和刚体转 动与相对位置的变化同时发 生，这就给分析带来很大的 困难。
在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，我们如何来描 述？
第三章 应变分析
第一节 位移与应变 在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。
第三章 应变分析
第一节 位移与应变
如果各点的位移完 全相同，物体发生刚体 平移；
如果各点的位移不 同，但各点间的相对距 离保持不变，物体发生 刚体转动等刚体移动。
dx
dx
PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所 引起的，因此PA正应变为
u x x v x
PA的转角为
我们从物体中取出y方向 上长dy的线段PB，变形后为 P'B'，B'点y方向的位移为 v v dy y x方向上的位移为
u u dy y
PB的正应变在小变形时是由y方向 的位移所引起的，因此PB正应变为