该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w

§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。
刚体位移包括平行移动和转动位移
§3-1 变形与应变概念
变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各 个点的相对位置。即物体的形状发生改变。 变形位移包括形状改变和体积改变。
x
A dx 0
图 2-5
v u xy x y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况
u x x
v y y
v u xy x y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
该方程一定存在三个根，设为1， 2， 3称为该点主应变:
( 1 )( 2 )( 3 ) 0
主应变和应变张量不变量
再次展开关于 的一元三次方程：
3 (1 2 3 ) 2 (1 2 2 3 31 ) 1 2 3 0
主应变和应变张量不变量
q Ni li

ij
ij l j 0

主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
2 2 2 3 ( x y z ) 2 [ x y y z z x ( xy yz zx )] 2 2 2 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy 0
3 J1 2 J2 J3 0
在一定的应变状态下，物体内任一点的主应变不会随坐标系 的改变而改变，因而，特征方程中的系数 J1，J2，J3 必为常 数，称为应变不变量。
主应变和应变张量不变量
第一应变不变量
J1 x y z 1 2 3 kk
r
r
N
P(x,y,z)
变形的度量——应变

正（线）应变——线素的相对伸长或缩短
dx dx x dx dy dy y dy dz dz z dz
正应变以伸长时为正，缩短时为负， 与正应力的正负号规定相对应。
变形的度量——应变
剪（切）应变
τ
α
τ
物体内一点 P(x，y，z)的两垂直方向 M 和 N 方向之间的角度变化量，称之为 M 和 N 方向
§3-1 变形与应变概念
刚体平移 刚体位移 *物体内各点之间不产生相对位移 刚体转动 位移 线变形 变形位移 角变形 *物体内各点之间产生相对位移
§3-1 变形与应变概念

由于外部因素 —— 载荷或温度变化 位移 —— 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各 个点的相对位置。
应变张量分解和应变偏量不变量
用主应变表示应变偏量：
ex eij 0 0
0 ey 0
0 e1 0 0 ez 0
0 e2 0
0 0 e3
y
yz
z
zx
yx
zy
xz
变形的度量——应变
正（线）应变 σx dx σx u
x
dx
x
u +du
du x dx
物体内一点 P（x,y,z）在 N (l , m, n) 方向上的线应变 r N lim r 0 r r ：变形前在P点处沿 N 方向所取 的微线段 r ：变形后Δr的增量
v v dx x
应变分量与位移分量的关系
由于变形是微小的，所以上式 可将比单位值小得多的 u x 略去，得
v x
v dx x
y
u v v dy y u dy y
C'
D" D '
D C
dy
u
A'

B'
v
v
B"
B
u u dx x
同理，Y向线素AD的转角： u y 因此，剪应变为：
线应变
角应变
③、是一个有单位，无量纲的物理量。 ④、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减 少的角应变取正，反之取负。
应变分量与位移分量的关系
ABCD
y
u v v dy y u dy y
ABCD，求线素
A点在X方向的位移分量为u， B点在X方向的位移： u u u u dx x 线素AB的正应变为： u (u dx) u u x x dx x 同理，AD的正应变为： v (v dy ) v v y y dy y
§3-1 变形与应变概念
位移
｛
刚性位移：反映物体整体位置的变动
变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化
研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点 的相对位置变动情况，即研究变形位移。
◆ 位移函数应是位置坐标的单值连续函数。 ◆ 位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形
的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。
xy yx

2

yz zy

2

zx xz

2

变形的度量——应变
①、涉及受力物体内某一点； ②、涉及该点的某一方向； ③、是一个无量纲的物理量； ④、表征某点某方向伸长变形的线应变取 正，反之取负； ①、涉及受力物体内某一点； ②、涉及过该点的某两相垂直方向；
应变张量分解和应变偏量不变量
1 1 定义平均应变： m ( x y z ) (1 2 3 ) 3 3
应变张量分解：
ij m ij eij
0
m m ij 0 0
m
0
0 0 m
应变球张量
变形的度量——应变
外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大 小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。
应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变
形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在 各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。 1、正应变 2、切应变
x
xy
γ =α +β
β
直角改变量
N
的切应变。
MN
间角度的变化量 则 xy ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的 变化量。
1 2 为变形后 M 、 N 两垂直方向
2
1
M
P( x, y, z)
变形的度量——应变

剪（切）应变——两正交线素夹角的减少
，
，
剪应变以直角变 小时为正，变大 时为负，与剪应 力的正负号规定 相对应。
第二应变不变量
体积应变
2 2 2 J2 x y y z z x xy yz zx 1 1 2 2 3 31 ii kk ik ki
2
第三应变不变量
2 2 2 J3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy 1 2 3 ij
1 1 ui u j ij ( ) ( ui , j u j ,i ) 2 2 x j xi
x ij yx zx
xy y zy
xz x 1 yz 2 yx 1 zx z 2
13 l1 23 l2 l 33 3
如果应变矢量 qN 正在平面法线N 方向上，则在这一方向上剪 应变为零，则该法线方向即为主方向（或应变主轴）。其含义 为：在这些方向上，运动前是彼此垂直的，其运动后仍保持垂 直，相应的应变称为主应变 。 剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变