1. 一次多项式 polynomial of first degree
（ 1）
( x, y) ax by c
其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程：
4 4 4 4 2 2 2 4 0 x x y y
4
显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
§3-1 多项式解答(Solutions by Polynomials)
适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的 力学问题。 ——逆解法 Inverse method
1. 一次多项式 polynomial of first degree
（1）形变分量
由前节可知，其应力分量为：
M y
x
1
h
y 0 xy 0
My M x y 3 I h / 12


(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
（2）位移分量
将式（b）代入几何方程得：
平面应力情况下的物理方程：
x 1 ( x y)
x EI
率相同。即
2v M 2 x EI 1
—— 材料力学中挠曲线微分方程
2. 位移边界条件的利用
（1）两端简支
其边界条件：
u x 0 0 v x 0 0 v x l 0
y 0 y 0
y 0
M u xy y u0 EI (f) M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
（ 4）
问题：
按应力求解平面问题，其基本未知量为： 求出形变分量、位移分量？
x
, y , xy
，如何由
§3-2 位移分量的求出Determination of displacements
以纯弯曲梁为例，说明如何由
x , y , xy 求出形变分量、位移分量？
M
l
1. 形变分量与位移分量
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （ 2） （ 3） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
2 x 2 2cx 2 6dxy 12ey 2 y 2 y 2 2cy 2 6bxy 12ax 2 x 2 2 2 3 bx 4 cxy 3 dy xy xy
—— 应力分量为 x、y 的二次函数。
（ 4）
特例：
整理得：
M x f 2( x) f1( y ) EI
（仅为 x 的函数） （仅为 y 的函数） 要使上式成立，须有 (c)
f1( y)
M x f 2( x) EI
式中：ω为常数。
(e)
将式（c）前两式积分，得：
积分上式，得
M u xy f1 ( y ) (d) EI M 2 v y f 2 ( x) 2 EI 式中： f1 ( y), f 2 ( x) 为待定函数。
M min 3dh
h 2
y 0, xy 0
1
M x
x l : x 6dy, xy 0
可见： 常数 d 与弯矩 M 的关系： 由梁端部的边界条件： (1)
max 3dh
y
dy 3 —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
h 2

(2)

h 2 h 2
（3） 对应的应力分量：
2 x 2 Xx 0 Xx Xx y
2 y 2 Yy 0 Yy Yy x
2 xy 0 xy
结论1：
若体力：X = Y =0，则有：
x y xy 0
（1） 一次多项式对应于无体力和无应力状态； 在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （ 2）
4
4 24e 4 y
4 0
得
24a 8c 24e 0 3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：
3a c 3e 0
（3） 应力分量：
0
横截面保持平面
—— 材力中“平面保持平面”的假设成立。
（ 2）
将下式中的第二式对 x 求二阶导数：

M u xy y u0 EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI 1 2v M 2 常数 说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲
x y dy M
12 M x 3 y h
h 2 h x 2 h 2 h 2
dy 0
6dy dy M
2

h 2 h 2
6dy dy 0
Байду номын сангаас
M x 3 y (h / 12)
2M d 3 h M (或d 3 ) h 2
M x y I
可见：此结果与材力中结果相同， 说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
二次多项式对应于均匀应力分布。
y
xy b
例：
试求图示板的应力函数。
0
x y
0
x
0
y
( x, y )
0
2
y2
( x, y) 0 xy
3. 三次多项式 polynomial of second degree
（ 1） （ 2）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
（3） 由式（2-26）计算应力分量：
4 0
(假定：X =Y = 0)
(可作为应力函数 )
x 2 2cx 6dy y
h/2 h/2
u x l 0, v x l 0
y 0 y 0
v x
x l y 0
0
（中点不动）
代入式（f），有
（该点水平轴线在 端部不转动）
M 2 l l v0 0, u0 0, 2 EI
可求得：
Ml EI M M M 2 2 u (l x) y, v (l x) y 2 EI 2 EI EI
（2）位移分量
M u xy y u0 (f) EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
讨论：
（ 1）
M
l
M y
x
1
h
式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定。
u M u M 当 x = x = 常数 0 x0 常数 x y x x0 EI y EI u —— u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。 y u M x0 常数 说明： 同一截面上的各铅垂 |x x y x x0 EI 线段转角相同。
将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
M u xy y u0 (f) EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
2
2 y 2 2by 6ax x
2 xy 2bx 2cy xy
结论3：
三次齐次多项式对应于线性应力分布。
例：
取 dy 3 , ( X Y 0) 可算得：
x 6dy y 0 xy 0
h y : 2
l
l
图示梁对应的边界条件：
Ml 2 , u0 0, v0 2 EI
M l 0 EI
M u (l x) y EI
M M 2 2 v (l x) y 2 EI 2 EI
(3-4)
h/2 h/2
挠曲线方程：
说明： （1） 求位移的过程：
M v | y 0 (l x) 2 与材料力学中结果相同 2 EI
E y 1 ( y x) E xy xy
G
将式（a）代入得：
My u 1 x x E I My v y y E I xy u v 0 y x
(c)
（2）位移分量
u 1 My x x E I v My y y E I u v xy 0 y x
ax ey
4
4
（须满足：a + e =0）
y 12ax 2 x 12ey 2
xy 0
总结：
（ 1）
（多项式应力函数 的性质） 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 多项式次数
0 。 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。
（a）将应力分量代入物理方程
1 x ( x y) E
（ 3）
4 0
(可作为应力函数 )
由式（2-26）计算应力分量： (假定：X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)