2020-2021学年安徽省滁州市高三（上）期末数学试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x＞x2﹣6}，B＝{x|2x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣2，）C．（﹣3，2）D．（﹣2，2）2．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（）A．﹣2B．2C．D．﹣13．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．16B．25C．36D．494．为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），已知所得样本数据都在区间[10，110]内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为（）A．60B．65C．66.25D．72.255．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥β6．在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到A、B、C、D四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师．若甲不分配到A班，丁不分配到D班，则分配方案的种数为（）A．12B．14C．16D．247．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））的最小正周期为，若将f （x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝（）A．B．C．D．8．已知a＝（），b＝（），c＝log93，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c9．已知点M为抛物线x2＝8y准线上一点，点F为焦点，O为坐标原点，A在抛物线上，且|AF|＝10，则|MA|+|MO|的最小值为（）A．16B．8C．4D．810．已知函数f（x）＝，则方程f（f（x））+3＝0的解的个数为（）A．3B．4C．5D．611．在等差数列{a n}中，＜﹣1，且它的前n项和S n有最小值，则当S n＜0时，n的最大值为（）A．7B．8C．13D．1412．已知函数f（x）＝e﹣x﹣e x﹣2+x，则不等式f（2020+x）+f（2021﹣2x）≤1的解集是（）A．（﹣∞，4039]B．[4039，+∞）C．（﹣∞，4042]D．[4042，+∞）二、填空题（共4小题）.13．已知向量＝（1，﹣3），＝（4，3），则||＝．14．在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）是单位圆O上第一象限内的点，∠xOP＝α，若cos（）＝﹣，则x0的值为．15．已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线右支交于A，B两点，且∠F1AB＝，则△ABF1的面积为．16．已知正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，沿DE把△DCE折起，使点C到达点F的位置，且BE⊥FE，则三棱锥F﹣ABE的外接球的表面积为．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2sin2B+sin2C＝2sin2A．（1）若B＝，c＝2，求△ABC的面积；（2）求的值．18．智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村40城市60总计10060160从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．（1）补全2×2列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.10.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828 19．如图，已知三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，SB＝SC＝4，点D为SC的中点，DA＝2．（1）求证：平面SAB⊥平面ABC；（2）求二面角S﹣AB﹣D的正弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），右焦点为F（4，0），短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点T（0，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AT中点为P，线段BT 中点为Q，且|OP|＝|OQ|（O为坐标原点），求所有满足条件的直线l方程．21．已知函数f（x）＝e x+ax（其中e≈2.718为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当0≤a≤1，证明：f（x）＞0．参考数据：ln2≈0.693．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（2﹣cos2θ）＝3．（1）求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点到直线C1距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|+|x+2|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥m+对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x＞x2﹣6}，B＝{x|2x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣2，）C．（﹣3，2）D．（﹣2，2）解：∵集合A＝{x|x＞x2﹣6}＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜}＝（﹣2，）．故选：B．2．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（）A．﹣2B．2C．D．﹣1解：∵＝＝是纯虚数，∴，解得a＝．故选：C．3．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．16B．25C．36D．49解：S＝0，n＝0，第一次执行循环体后，a＝1，S＝1，n＝1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，a＝3，S＝4，n＝2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，a＝5，S＝9，n＝3，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，a＝7，S＝16，n＝4，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，a＝9，S＝25，n＝5，满足退出循环的条件；故输出S值为25，故选：B．4．为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），已知所得样本数据都在区间[10，110]内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为（）A．60B．65C．66.25D．72.25解：由频率分布直方图得：[10，60）的频率为（0.004+0.012）×25＝0.4，[60，85）的频率为0.016×25＝0.4，∴该样本数据的中位数的估计值为：60+＝66.25．故选：C．5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥β解：由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n与α相交但不一定垂直，故B错误；在C中，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则由面面垂直的判定理得α⊥β，故D正确．故选：D．6．在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到A、B、C、D四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师．若甲不分配到A班，丁不分配到D班，则分配方案的种数为（）A．12B．14C．16D．24解：根据题意，分2种情况讨论：①若甲分配到D班，剩下三人全排列即可，有A33＝6种情况，②若甲不分配到D班，甲的分配方法有2种，丁不能分配到D班，其分配方法有2种，剩下2人安排到剩下的2个班级，有2种分配方法，此时有2×2×2＝8种分配方法，则一共有6+8＝14种不同的分配方法，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））的最小正周期为，若将f （x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））的最小正周期为，则，解得ω＝4．将f（x）＝的图象向右平移个单位长度后，得到g（x）＝，由于所得图象对应的函数为偶函数，故，整理得，当k＝﹣1时，φ＝．故选：A．8．已知a＝（），b＝（），c＝log93，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c解：∵1＝＞a＝（）＞b＝（）＝（）＞，c＝log93＝，∴c＜b＜a．故选：B．9．已知点M为抛物线x2＝8y准线上一点，点F为焦点，O为坐标原点，A在抛物线上，且|AF|＝10，则|MA|+|MO|的最小值为（）A．16B．8C．4D．8解：由抛物线的方程可得：F（0，2），准线方程为：y＝﹣2，设点A的坐标为（x，y），则由|AF|＝10＝y+2，所以y＝8，代入抛物线方程可得：x＝±8，不妨设A（8，8），原点O关于准线的对称点为N（0，﹣4），则|MA|+|MO|＝|MA|+|MN|，当A，M，N三点共线时，|MA|+|MN|最小，最小值为|AN|＝，故选：C．10．已知函数f（x）＝，则方程f（f（x））+3＝0的解的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵函数f（x）＝，由f（x）＝﹣3，当x＞0，即lnx＝﹣3，解得x＝，当x＜0时，则有x+＝﹣3，解得x＝，∵f（f（x））+3＝0即f（x）＝，或f（x）＝，由f（x）＝，可得lnx＝，此方程只有一个根，又x＜0时，f（x）＝x+≤﹣2，故f（x）＝仅在x＞0时有一个根，f（x）＝在x＜0时有两个根，在x＞0时有一个根，综上，方程f（f（x））+3＝0有五个根，故选：C．11．在等差数列{a n}中，＜﹣1，且它的前n项和S n有最小值，则当S n＜0时，n的最大值为（）A．7B．8C．13D．14解：因为等差数列{a n}的前n项和S n有最小值，则d＞0，又＜﹣1，所以a7＜0，a8＞0，所以a7+a8＞0，又，，所以当S n＜0时，n的最大值为13．故选：C．12．已知函数f（x）＝e﹣x﹣e x﹣2+x，则不等式f（2020+x）+f（2021﹣2x）≤1的解集是（）A．（﹣∞，4039]B．[4039，+∞）C．（﹣∞，4042]D．[4042，+∞）解：∵f（x）＝e﹣x﹣e x﹣2+x，∴f（2﹣x）＝e﹣（2﹣x）﹣e（2﹣x）﹣2+（2﹣x）＝e x﹣2﹣e﹣x+1﹣x，则f（x）+f（2﹣x）＝1，即是f（x）关于（1，）对称，由f（2020+x）+f（2021﹣2x）≤1得f（2021﹣2x）≤1﹣f（2020+x）＝f（2﹣（2020+x））＝f（﹣x﹣2018），f′（x）＝﹣e﹣x﹣e x﹣2+，[f（x）]'＝e﹣x﹣e x﹣2，为减函数，且当x＜1时，[f‘（x）]'＞0当x＞1时，[f‘（x）]''＜0，即当x＝1时，f‘（x）取得极大值f′（1）＝﹣2e﹣1+＜0，即f′（x）＜0恒成立，则f（x）在R上是减函数，则不等式f（2021﹣2x）≤f（﹣x﹣2018），等价为2021﹣2x≥﹣x﹣2018，即x≤2021+2018＝4039，即不等式的解集为（﹣∞，4039]，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。