上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5,7}B =，则A B =2. 不等式11x<的解集为 3. 已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -，则1(5)f -=4. 已知向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 的方向上的投影为5. 已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)1z ⋅+=，则||z =6. 在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为8. 已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤，则实数a 的取值范围是9. 已知等比数列11,,1,93⋅⋅⋅前n 项和为n S ，则使得2018n S >的n 的最小值为 10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则此圆锥的表面积为11. 已知函数()sin f x x ω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为12. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若实数,x y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 14. 已知ABC ∆中，2A π∠=，1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅的最小值为（ ）A. 4-B. 2-C. 1-D. 0 15. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx b y e +=（ 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k 、b 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小 时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时 A. 22 B. 23 C. 24 D. 3316. 关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++=（ ）A. 1B. 2C. 22π D. 22π三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =. （1）求异面直线1BC 与1CD 所成的角； （2）求三棱锥1B D AC -的体积.18. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2,1)m =，(cos ,cos cos )n c C a B b A =+，且m n ⊥.（1）求C ；（2）若227c b =，且ABC S ∆=求b 的值.19. 已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+（*n N ∈，p R ∈）.（1）求p 的值及{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，21b a =，324b a =+，令(21)(2)n n na n k cb n k =-⎧=⎨=⎩（*k N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为4+.（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.21. 已知函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即(){|(),}f D y y f x x D ==∈， 若()f D D ⊆，则称()f x 在D 上封闭.（1）分别判断函数2017()2017log xf x x =+，2()1x g x x =+在(0,1)上是否封闭，说明理由；（2）函数()1f x x k =++的定义域为[,]D a b =，且存在反函数1()y f x -=，若函数()f x在D 上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，求实数k 的取值范围；（3）已知函数()f x 的定义域为D ，对任意,x y D ∈，若x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立， 则称()f x 在D 上是单射，已知函数()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()x f D D ，其中1()(())n n f x f f x +=（*n N ∈），1()()f x f x =，证明：存在D 的真子集， n D 1n D -⋅⋅⋅ 3D 2D 1D D ，使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =⋅⋅⋅）上封闭.参考答案一. 填空题1. {}1,32. (,0)(1,)-∞+∞3. 34. 1-5.126. 807. 16338. []5,3- 9. 10 10. 36π 11. π 12.二. 选择题13. B 14.B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）11//AD BC1AD C ∴∠是异面直线1BC 与1CD 所成的角或其补角.2分在等腰1ACD ∆中，11AC CD AD =易得1CD A ∠=分即：异面直线1BC 与1CD 所成的角……………………1分 （2）11B D AC D ABC V V --=……………………4分111(12)1323=⨯⨯⨯⨯=……………………3分 18. （1）由m n ⊥，∴2cos cos cos 0c C a B b A ++=，……………………2分由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，……2分 ∴()2sin cos sin 0C C A B ++=；2sin cos sin 0C C C +=；由sin 0C ≠，∴1cos 2C =-，……………………2分 ∴23C π=；……………………1分（2）由2222cos c a b ab C =+-，∴22272cos b a b ab C =+-，∴2260a ab b +-=，∴2a b =；……………………4分由ABC S ∆=，1sin 2ab C =1222b b ⋅⋅⋅=，……………2分 ∴2b =.……………………1分 19. （1）22n S pn n =+*2,22,2n p a n N pn p n +⎧∴=∈⎨-+≥⎩*22,n a pn p n N ∴=-+∈……………………3分122n n a a p +∴-==1p ∴=， 122)1(3+=-+=n n a n ……………………3分（2）∵21323,49b a b a ===+=，∴3=q ，2212333n n n n b b q---==⨯=，……………………2分 当*2,n k k N =∈时，1234212n k k T a b a b a b -=++++++1321242(+)()k k a a a b b b -=++++++21(37+4-1)(3273)k k -=++++++(341)3(19)3(91)(21)2198k k k k k k +---=+=++- (1)3(31)28n n n +-=+……………………3分当*21,n k k N =-∈时，1n +是偶数，111(1)(2)3(31)T T 328n nn n n n n b +++++-=-=+-(1)(2)3328n n n ++-=+**(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28n n nn n n k k N T n n n k k N ⎧+-+=∈⎪⎪∴=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩……………………3分20. （1）由1223F AF π∠=得：13F AO π∠= ，所以23a b ==………① 又12AF F ∆周长为4+，所以224a c +=+………②解①②方程组，得21a b =⎧⎨=⎩ 所以椭圆方程为2214x y +=………………………4分（2）设直线l 方程：y kx m =+，交点1122(,),(,)B x y C x y22222(14)84(1)044y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩………………………1分 212122284(1),1414km m x x x x k k -+=-⋅=++…………………………1分 121211,AB AC y y k k x x --== ………………………………………1分 依题：1ABAC k k +=-即：1212111y y x x --+=-…………………………1分 1122,,y kx m y kx m =+=+121212121112(1)1kx m kx m x xk m x x x x +-+-++=-⇒+-=-⋅ 21m k ⇒=-- ……………………………………………………………1分21y kx m kx k ∴=+=--过定点(2,1)-…………………………………………1分（3）:10AE l x y +-=，(0,1),(2,1),A E AE -=………………………1分设直线:l y x t =-+与椭圆2214x y +=相切，222252104140y x tx tx t x y t =-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩∆=⇒=……………………1分 得两切线到:10AE l x y +-=的距离分别为12d d ==()1112AEP d S ∆=⋅=()2112AEP dS ∆=⋅=………………………1分当1AEP S ∆>+时，AEP ∆个数为0个当1AEP S ∆=+时，AEP ∆个数为1个当11AEP S ∆<<时，AEP ∆个数为2个当1AEP S ∆=时，AEP ∆个数为3个当01AEP S ∆<时，AEP ∆个数为4个……………………3分21. （1）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，值域为(,)-∞+∞，（取一个具体例子也可）， 所以()f x 在()0,1上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）1(1,2)t x =+∈2(1)11()()2(0,)(0,1)2t g x h t t t t -===+-∈⊆ ()g x 在()0,1上封闭……………………（结论和理由各1分）（2）函数()f x 在D 上封闭，则()f D D ⊆.函数1()f x -在()f D 上封闭，则()D f D ⊆，得到：()D f D =.…………………………………………（2分）()f x k 在[],D a b =单调递增.则(),()f a a f b b ==()f x k x ⇔==在[)1,-+∞两不等实根．…………（1分）(){221g()2110x x x k x k x k ≥-⎛⎫=-++-= ⎪≥⎝⎭，故22(21)4(1)0g(1)0g()02122112k k k k kk ⎧⎪+-->⎪-≥⎪≥⎨+⎪>⎪+⎪>-⎩，解得(5,14k ⎤∈--⎥⎦． …………（3分）另解：()f x k x ⇔==在[)1,-+∞两不等实根．令0)t t =≥21k t t +=-在[)0,t ∈+∞有两个不等根，画图，由数形结合可知，(11,04k ⎤+∈-⎥⎦解得(5,14k ⎤∈--⎥⎦．（3）如果()f D D =，则()n f D D =，与题干()n f D D ≠⊂矛盾.因此()f D D ≠⊂，取1()D f D =，则1D D ≠⊂.…………………………（2分）接下来证明11()f D D ≠⊂，因为()f x 是单射，因此取一个1\p D D ∈，则p 是唯一的使得()()f x f p =的根，换句话说1()()f p f D ∉.……………（2分）考虑到1\p D D ∈，即{}1\D D p ⊆，因为()f x 是单射，则{}(){}{}111()\()\()\()f D f D p f D f p D f p D ≠≠⊂==⊂这样就有了11()f D D ≠⊂.………………………………………………（3分）接着令1()n n D f D +=，并重复上述论证证明1n n D D +≠⊂.…………（1分）。