专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文【三年高考】1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222(,)y xx y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.（I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.(Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率002m m m k x x -== ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以'k k为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()21202221m x k x -=+ ，所以()()211202221k m y kx m m kx -=+=++，同理()()()()2222222262,181181m k m x y m kx kx ---==+++.所以()()()()()()()22222122220022223221812118121m m k m x x kx kx k k x-----=-=++++，()()()()()()()()2222212222622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅当6k =时取得.此时2648m=-，即147m =，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为6 . 3．【2016高考四川文科】已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)2P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．（II ）设直线l 的方程为1(0)2y x m m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 得222220x mx m ++-=，① 方程①的判别式为24(2)m ∆=-，由∆>0，即220m ->，解得22m -<.由①得212122,22x x m x x m +=-=-.所以M 点坐标为(,)2mm -，直线OM 方程为12y x=-，由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得22(2,(2,22C D --.所以25552)(2)(2)4MC MD m m m ⋅=-=-.又222212121212115[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+-22255[44(22)](2)164m m m =--=-.所以=MA MB MC MD ⋅⋅. 4．【2016高考上海文科】有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图 （1）求菜地内的分界线C 的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38。

设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值5．【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B6. 【2015高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b bαα的离心率33，12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . （i ）求||||OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.【解析】（I ）由题意知22311,4a b+=223a b -=，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为221164x y +=. （i ）设00||(,),,||OQ P x y OP λ=由题意知00(,)Q x y λλ--.因为2200 1.4x y +=又2200()()1164x y λλ--+=，即22200() 1.44x y λ+=所以2λ=，即||2.||OQ OP =7. 【2015高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22.(I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解析】 (I)由题意知21c b a ==，综合222a b c =+，解得2a =2212x y +=. (II)由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠，则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++，从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQyy kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+ 121212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-. 8. 【2015高考重庆，文21】如题（21）图，椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的左右焦点分别为1F ,2F ,且过2F 的直线交椭圆于P ,Q 两点，且PQ ⊥1PF .(Ⅰ)若|1PF |=2+2，|2PF |=2-2，求椭圆的标准方程. (Ⅱ)若|PQ|=λ|1PF |，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围.(2)如题(21)图，由11P F ,|||P F |PQ PQ ,得222111|QF ||PF ||PQ |1|PF |，由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a ,进而11|PF ||PQ ||QF |4a ，于是21(11)|PF |4a .解得12|PF |11，故22122(11)|PF |2|PF |11a a .由勾股定理得22222122|PF ||P F ||PF |(2)4c c ,从而2222222(141111a c ,两边除以24a ，得22222221(11) 1111e,若记211t，则上式变成22224(t2)111842et t.由3443，并注意到211关于的单调性，得34t，即11143t，进而21529e，即25e.9. 【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的离心率是22，点P(0，1)在短轴CD 上，且PC PD⋅＝－1(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PBλ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.(Ⅱ)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立221421x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以12122242,2121kx x x xk k+=-=-++，从而OA OB PA PBλ⋅+⋅＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ADBCOxyP＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝22(24)(21)21k k λλ--+--+＝－21221k λλ---+，所以，当λ＝1时，－21221k λλ---+＝－3，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值，当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3，故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.10.【2014山东，文15】 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】y x =±11.【2014广东，文20】已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,y x P 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程． 【解析】（1）由题意得5=c ，35==a c e ，所以3=a ，所以4222=-=c a b ，所以椭圆C 的标准方程为14922=+y x .12.【2014湖南，文20】如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题，主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式,椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题．考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．从近三年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测2017求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍是高考中区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用．【2017年高考考点定位】高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联系，考查知识点多，运算量大，能力要求高，难度大是这种题型的一大特征.【考点1】求轨迹方程【备考知识梳理】1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f x y 的实数解建立了如下的关系：(,)0(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线叫做这个方程的曲线.2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．【规律方法技巧】1.求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2. 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等【考点针对训练】1. 【2016江省衢州市高三4月教学质量检测】设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一点，其坐标(,)x y 均满足2222212122x y x x y x +++++-+≤，则2a b +取值范围为（ ）A.(]0,2B.[]1,2C.[)1,+∞D.[)2,+∞【答案】D2. 【2016江西省高安中学高三命题中心押题】在平面直角坐标系xOy 中，,E F 两点的坐标分别为0,1、0,1，动点G 满足:直线EG 与直线FG 的斜率之积为14-． （1）求动点G 的轨迹方程；（2）设,A B 为动点G 的轨迹的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点（点P 不在x 轴上），连[AP 交G 的轨迹于C 点，连PB 并延长交G 的轨迹于D 点，试问直线CD 是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．【解析】（1）已知()()0,1,0,1E F -，设动点G 的坐标(),x y ，所以直线EG 的斜率11y k x-=，直线FG 的斜率21y k x +=（0x ≠），又1214k k ⨯=-，所以1114y y x x -+⨯=-，即()22104x y x +=≠． （2）设00(4,)(0)P y y ≠，又(2,0)A -，则()()12f x f x -≥，故直线AP 的方程为：0(2)6y y x =+，代入椭圆方程并整理得：()242121x a x a x x ---+≤+-。