解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状
1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若
cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( )
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，
则△ABC
（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定
4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形
6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=
12
7
, 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c
C
b B a A sin cos cos =
=，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．有一内角为30°的等腰三角形
D ．等边三角形
8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是
（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
9、（2010辽宁文数17）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，
且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.
10、在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +⋅-=-⋅+,判断该三角形的形状。

11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=
B
A B
A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).
题型5：正、余弦定理判断三角形形状答案
1、【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.
【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA ,所以由正弦定理得
sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以sin(B+C)=sin 2
A,
sinA=sin 2
A, sinA=1,所以三角形ABC 是直角三角形.
2、解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得0
115213115cos 2
22<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角
3、解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、 c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．
而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A
4、解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A
B
C
===得：sin 2a A R
=，sin 2b
B R
=
，sin 2c C R
=。

所以由2
sin sin sin A B C =可得：2(
)222a b c R R R
=⋅，即：2a bc =。

又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。

故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。

所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。

5、B 解析：2sin A cos B ＝sin C =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB
∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 另解：角化边
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，
通畅解题途径 6、纯角
9、解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22
+++= 即bc c b a
++=222
由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=
故︒=-=120,2
1
cos A A
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sin sin sin sin sin
222
C B C B A ++=
又1sin sin =+C B ，得2
1sin sin ==C B
因为︒<<︒︒<<︒900,900C B ，
故B C =
所以ABC ∆是等腰的钝角三角形。

10、【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。

方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=-+--
222cos sin 2cos sin a A B b B A ∴=
由正弦定理，即知22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =
sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B ∴-=
sin 2sin 2A B ∴= 由0
2,22A B
π，得22A B =或22A B π=-
即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形
方法二：同上可得222cos sin 2cos sin a A B b B A =
由正、余弦定理，即得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac
+-+-=
22222222()()a b c a b a c b ∴+-=+-
即22222()()0a b c a b ---=
a b ∴=或222c a b =+
即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。

（边化角）
11、分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒222222222
1
2260cos 0)
(2=-∴c a ，
c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由A
A
b B a A b cos sin tan tan 22
2
⇒=
,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A A
B a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或
A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③B
A B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：
,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a ac
b c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯222
22222
∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2
22
2)sin()sin(b a b a B A B A +-=+-
︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2
222B A B A B A B
A B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △.。