正余弦定理与三角形形状的判断
一、掌握基本原理
常用的定理或公式主要有以下几个: (1）在△AB Ｃ中,A + B ＋ C = π，
2
22C
B A -=+π, ()
C B A sin sin =+，()C B A cos cos -=+，
sin （A ＋B/2)=cos(C/2）,2
cot 2tan
C B A =+ ． （2）正余弦定理及其变式:
如a = ２Ｒ s ｉｎA ，b 2 + ｃ2－a 2 ＝２b c cos Ａ ,这里， R 为三角形外接圆的半径. (限于篇幅,定理原文及其它相关变式请读者自己回忆并写出）．
(3）射影定理：ａ = b ｃos C + c cos Ｂ.（用余弦定理很容易证得，请读者作为练习自行证之）
二、弄清题目类型
1.目标明确型
例１ 在△ABC 中,a 2+b 2＝c ２
+a ｂ,且ｓin A ｓｉｎＢ＝4
3
,求证：△ＡBC 为等边三角形. 分析：由ａ2+b ２
=c 2＋ａｂ,知,用余弦定理可求出C 角, 证明：由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ．
∵a 2+b ２=c ２
+ab ，
∴ab －2ａb c ｏs Ｃ=0．
∴cos C =
2
1
，∴C =６０° ∵ｓin A sin Ｂ=43，ｃｏs(A +B )＝cos(180°-C )＝co ｓ１2０°=-2
1
，
cos(A +Ｂ)=ｃos Ａｃｏs Ｂ－sin A si ｎB , ∴cos A cos B =
4
1． ∴c ｏｓ(A -B ）＝c ｏs Ａc ｏs B +ｓｉn A s ｉｎＢ=1． ∵-π<A －B ＜π,∴A －B =0． ∴A =Ｂ=60°
∴△A ＢC 是等边三角形．
评注：这类题目往往由于目标明确,在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步结论之后能够很快确定后续思路.尤其本题中首先得出了一个特殊角，加之ｓin A ｓin Ｂ=4
3
,则更容易联想到三角形内角和定理了.
2.模糊探索型
例2 判定满足下列条件的△ABC的形状:
解: (1)由已知及正弦定理得
因此△AＢＣ是以∠C为顶角的等腰三角形或以∠C为直角的直角三角形．
因此△ABＣ为正三角形.
评注：这类题目,只要求判断三角形形状，并没有清晰的线索，往往需要我们根据已知条件去分析和探索,但一般说来,主要应用本文开头提到的相关知识就能够解决．值得一提的是,本题就解题思想而言与例1颇有异曲同工之处.
三、搞清一般规律
例3 在△AB Ｃ中，若2
2
tan tan b a B A =，试判断△ＡBC 的形状. 解法一:由正弦定理，得 B
A B
A
A A A
B B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即：即B A B
A
A A A
B B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴=
=即： B A B A A
A 2sin 2sin sin sin cosA cos
B in in 2
2=∴=即： ∴2A = ２Ｂ 或 ２Ａ = 180︒ - 2B
即 Ａ= B 或 Ａ + B ＝ 90︒ ∴△AB Ｃ为等腰或直角三角形.
解法二：由题设,有 222222
22222222sin cos cos sin b
a R
b b
c a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅
-+-+⋅
⇒= 222222
22222222sin cos cos sin b
a R
b b
c a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅
-+-+⋅
⇒= 化简:b ２
(a 2 + c ２
- ｂ２
) = a 2(b 2 + c 2 - a 2） ∴(ａ2 -ｂ２)（a 2 + ｂ２ - c ２
）=０ ∴a ＝ b 或 ａ2 ＋ b 2 = c 2 ∴△AB Ｃ为等腰或直角三角形.
评注：与三角形形状相关的综合题往往所给条件中富含三角形的边角关系，本题的两种解法,实际上提供了两种技巧:解法一是把“边角关系”转化成了三角形三内角之间的关系,解法二则是把“边角关系”转化成了三角形三边之间的关系，充分体现了转化思想,
四、莫忘相关技巧
例4 在△ＡB Ｃ中,若有
2
cos
2
cos
2
cos
c c
B b A a
=
=
，试判断△ＡBC 的形状? 解：设ａ＝k ⋅sinA,,ｂ＝ksin Ｂ,ｃ=ksi ｎＣ
2cos
sin 2cos sin 2cos sin c C
k B B k A A k ⨯=⨯=⨯∴
2sin
2sin 2sin C B A ==∴ 而2222
0π<
<B C A ，22220π<<B C A ,22220π<<B C A 222C
B A ==∴，从而,△A Ｂ
C 是正三角形．
评注:见比设k,是常用技巧．其实,正弦定理中的２R 非常类似于这里的k ．
例５ 在△ＡBC 中，已知sin B ·ｓin Ｃ＝cos 22
A
,试判断此三角形的类型
解：∵ ｓin B ·ｓｉn C =cos 22
A , ∴ ｓin Ｂ·s ｉn C =
2
cos 1A
+ ∴ 2sin B ·ｓin Ｃ=1+ｃos ［180°－（B ＋C ）］
将cos （Ｂ+C )＝cos Ｂｃos C -sin Ｂs ｉｎC 代入上式得 ｃｏs Ｂcos C ＋ｓi ｎB s ｉｎＣ=1, ∴ ｃos(B -Ｃ)=１
又0<B ,C <π,∴－π<Ｂ－C <π ∴ B -Ｃ＝０∴ B ＝C 故此三角形是等腰三角形
评注：学习正、余弦定理，不要忘记前面学过的相关知识,如本题中，利用“降幂扩角公式”把半角化成“单角”的过程起到了关键作用．
五、不要轻易下结论
例６ 在 中，已知
试判断△A ＢＣ的形状.
证明：
，
即
直角三角形且
又
综上,△ABC为等腰直角三角形.
评注：许多结论中有时不见得只有一层答案,所以在得出初步结论来之后，一定要进一步思考一番,看已知条件是否全部用到了，看结论是否想全了．如本题中常常有许多同学在
得出“直角三角形且”之后便不再往下写，从而造成失误.除此而外,还要
注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。