【答案】 C
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(2)设 a 在映射 f 下的象为 2a＋a，则 20 在映射 f 下的原象为 ________．
【解析】 2a＋a＝20，当 a＝4 时，24＋4＝20. 又函数 y＝2x＋x 为单调递增函数， ∴方程 2a＋a＝20 有且只有一个解 4. ∴20 在映射 f 下的原象为 4.
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【解析】 ①当 a＝－1 时，y 值不存在，故它不是映射， 更不能构成函数；
②是映射，也是函数，因为 A 中所有元素的倒数都是 B 中 的元素；
③不是映射，更不是函数，从 A 到 B 的对应为“一对多”； ④是映射，但不是函数，因为 A、B 不是数集． 【答案】 略
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【思路】 本题考查分段函数与复合函数．
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【解析】 (1)x＜0 时，f(x)＝1x， g[f(x)]＝1x＋1； x≥0 时，f(x)＝x2, g[f(x)]＝x2＋1. ∴g[f(x)]＝1x＋1 x＜0，
x2＋1 x≥0.
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(2)由 x＋1＜0，得 x＜－1. 由 x＋1≥0，得 x≥－1. ∴f[g(x)]＝x＋1 1 x＜－1，
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3．分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，有 着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函 数而不是几个函数．
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1．(课本改编题)判断下列对应是不是从 A 到 B 的映射？是 不是从 A 到 B 的函数？
①A＝{x|x 是锐角}，B＝{y|0<y≤1}，f：x→y＝sinx ②A＝{衡水市，武汉市，郑州市}，B＝{湖北省，河南省， 湖南省，河北省}，f：每一个城市与其所属的省对应 ③A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝(x－2)2.
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(2)设 2x＋1＝t，则 x＝12(t－1)， ∴f(2x＋1)＝f(t) ＝4·[12(t－1)]2＋8·[12(t－1)]＋3＝t2＋2t. ∴f(x)＝x2＋2x. (3)∵f(x＋1x)＝x2＋x12－3＝(x＋1x)2－5， ∴f(x)＝x2－5，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
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例 1 下列对应是否是从集合 A 到 B 的映射，能否构成函 数？
①A＝N，B＝Q，f：a→b＝a＋1 1； ②A＝{x|x＝n，n∈N*}，B＝{y|y＝1n，n∈N*}，f：x→y＝1a； ③A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝R，f：x→y，y2＝x； ④A＝{平面 M 内的矩形}，B＝{平面 M 内的圆}，f：作矩形 的外接圆．
x＋12 x≥－1. 【答案】 (1)g[f(x)]＝1x＋1 x＜0，
x2＋1 x≥0. (2)f[g(x)]＝x＋1 1 x＜－1，
x＋12 x≥－1.
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探究 4 分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在 不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复 合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注 意复合函数定义域的变化．
名称
称 f：A→B为从集合A到 称对应 f：A→B为从集合A
集合B的一个函数
到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射
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2．函数 (1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． (2)函数的三要素： 定义域 值域 对应法则 ． (3)函数的表示法： 解析法 图像法 列表法 ． (4)两个函数只有当 定义域和对应法则 都分别相同时，这两 个函数才相同．
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思考题 1 (1)集合 A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下
列不表示从 A 到 B 的函数的是( )
A．f：x→y＝12x
B．f：x→y＝13x
C．f：x→y＝23x
D．f：x→y＝ x
【解析】 依据函数概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中
都有唯一确定的元素与之对应，选项 C 不符合．
则 f(g(3))等于( A．1 C．3 答案 C
x123 f 312 g321 )
B．2 D．不存在
解析 由表格可知 g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝3.故选 C.
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4.函数 y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是_____； 值域是________；其中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是 ________．
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【解析】 (1)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝4x＋3. ∴aab2＝＋4b，＝3， 解得ab＝ ＝21， 或ab＝ ＝－ －23， . 故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
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(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此 时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于 f(x)与 f(1x)或 f(－x)等的表达式，可根 据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求 出 f(x)．
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思考题 3 (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式．
答案 ①是映射是函数，②是映射，不是函数，③不是映射， 也不是函数
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2．已知 f(x)＝m(x∈R)，则 f(m3)等于( )
A．m3
B．m
C.3 m
D．不确定
答案 B
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3．设 f，g 都是从 A 到 A 的映射(其中 A＝{1,2,3})，其对应 关系如下表：
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1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 A、B
设A、B是两个 非空数集 . 设A、B是两个 非空集合 .
对应关系 f：A→B
如果按照某种确定的对
应关系f，使对于集合A中 的 任意一个数x，在集合 B中有唯一 的数f(x)和它
对应
如果按某一个确定的对应
关系f，使对于集合A中的 任意 一个元素x在集合B中 有唯一 的元素y与之对应
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
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2x3，x<0， 5．(2013·福建)已知函数 f(x)＝－tanx，0≤x<π2，
则 f(f(π4))
＝________.
答案 －2 解析 ∵f(π4)＝－tanπ4＝－1，∴f(f(π4))＝f(－1)＝2×(－1)3＝ －2.
函数及其表示
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1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域．
2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择 恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
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请注意！
本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示 法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热点，另外，实际 问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像，仍是 2015 年高考考查的重要内容.
【答案】 4
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例 2 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什 么？
(1)f1：y＝xx；f2：y＝1.
(2)f1：y＝|x|；f2：y＝－x，x，
x>0， x<0.
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1， (3)f1：y＝2，
3，
x≤1， 1<x<2， x≥2.
f2： x x≤1 1<x<2 x≥2
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(4)令 t＝1x，则 x＝1t ， ∴f(1t )－2f(t)＝3t ＋2，即 f(1x)－2f(x)＝3x＋2. 与原式联立得ffx1x－－22ff1xx＝＝33x＋x＋22，， 解得 f(x)＝－x－2x－2， 故所求函数的解析式为 f(x)＝－x－2x－2.
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探究 1 (1)映射只要求第一个集合 A 中的每个元素在第二 个集合 B 中有且只有一个元素与之对应；至于 B 中的元素有无 原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射 f：A→B 中的 A、B 为非空数 集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映 射的概念才能在解决此类问题时游刃有余．
【答案】 C
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例 3 求下列函数的解析式： (1)已知 f(x)是一次函数，并且 f[f(x)]＝4x＋3，求 f(x)； (2)已知 f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求 f(x)； (3)已知 f(x＋1x)＝x2＋x12－3，求 f(x)； (4)已知 f(x)－2f(1x)＝3x＋2，求 f(x)．
【解析】 ∵f(x)＋2f(1－x)＝x，
①
∴f(1－x)＋2f(x)＝1－x.
②
①－2×②，得 f(x)＝－x＋23.