2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<−1}，B={y|y<1}，则A∪B=()A. ⌀B. {x|−1<x<1}C. {x|x<−1}D. {x|x<1}2.三个函数①y=1x；②y=10lgx；③y=−x3中，在其定义域内是奇函数的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 33.已知集合A={0},B={−1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 84.已知函数F(x)=f(x)+x2是奇函数，且f(2)=1，则f(−2)=()A. 9B. −9C. −7D. 75.已知集合A={−1, 0, 1, 2, 3, 4},B={x|x<2}，则A⋂B=()A. {−1,0,1,2}B. {−1,0,1}C. {x|x<2}D. {0,1}6.已知集合A={x|x2−3x+2<0},B={x|3x>9}，则(C R A)∩B等于()A. {x|x>2}B. {x|x≥2}C. {x|1<x<2}D. {x|1≤x≤2}7.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(−∞,0]上是减函数，若f(a)>f(2)，则实数a的取值范围是()A. a≤2B. a<−2或a>2C. a≥−2D. −2≤a≤28.定义：区间[a,b]，(a,b]，(a,b)，[a,b)的长度均为b−a，若不等式1x−1+2x−2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A. 当m>0时，l=√m2+2m+9mB. 当m>0时，l=3mC. 当m<0时，l=−√m2+2m+9mD. 当m<0时，l=−3m9.函数y=a x−a−1(a>0且a≠1)的图象可能是()A. B. C. D.10. 下列函数f (x )中，满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，当x 1<x2时都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A. f (x )=1xB. f (x )=(x −1)2C. f (x )=e xD. f (x )=ln (x +1) 11. 如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是( )A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高12. 已知函数y =f (x )满足对任意的x ∈R ，总有f (x +2)=f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=1−|x −1|.若关于x 的方程f (x )=log a x 恰有三个不相等的实根，则实数a 的取值范围为( )A. [3,5]B. (3,5)C. [4,5]D. (3,6)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知函数g (x )=x 2−2x (x ∈[2,4])，则g (x )的最小值_______14. 已知函数f(x)={x −2,x >0−x 2+bx +c,x ≤0满足f(0)=1，且f(0)+2f(−1)=0，那么函数g(x)=f(x)+x 有______个零点．15. 12lg25+lg2+7log 73=______．16. 若函数f(x)=x (2x+1)(x−a)为奇函数，则a =_________．17. 函数f(x)=x 2+2x −3,x ∈[1,3]的值域为_____________．18.函数f(x)对任意x，y满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=4，则f(−1)=____________．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.已知集合A={x|x2−ax+3=0,a∈R}．(1)若1∈A，求实数a的值；(2)若集合B={x|2x2−bx+b=0,b∈R}，且A∩B={3}，求A∪B．20.已知函数f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b,(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1(1)求a,b的值；(2)若使关于x的方程f(x)−k⋅4x=0在x∈[−1,1]上有解，求实数k的取值范围．21.二次函数f(x)满足f(0)=3，f(x+2)−f(x)=4x+2．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2t,t+1]上单调函数，求实数t的取值范围；(3)在区间[−1,1]上，y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方，求m的取值范围．(4)在区间[t,t+1]上的最小值记为g(t)求g(t)的表达式并求g(t)的值域22.已知集合A={a1,a2,a3,…,a k}(k≥2)，若对于任意的a∈A，总有−a∉A，则称集合A具有性质P.由A中的元素构成一个相应的集合：T={(a,b)|a∈A，b∈A，a−b∈A}，其中(a,b)是有序实数对．检验集合{0,1，2，3}与{−1,2，3}是否具有性质P，并求出其中具有性质P的集合所对应的集合T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了并集及其运算.利用并集的运算计算得结论．【解答】解：因为集合A={x|x<−1}，B={y|y<1}={x|x<1}，所以A∪B={x|x<1}．故选D.2.答案：C=−f(x)(x≠0)，则f(x)是奇函数；解析：解：①f(−x)=−1x②y=10lgx(x>0)，定义域关于原点不对称性，不是奇函数，③f(−x)=x3=−(−x3)=−f(x)(x∈R)，则函数f(x)是奇函数，故在其定义域内是奇函数的个数是2个，故选：C．根据函数奇偶性的定义进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：解：由题意可得集合C可以为{0},{0,−1},{0,1},{0,−1,1}．即符合条件的集合C的个数为4．故选C.4.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵F(x)=f(x)+x2是奇函数，∴F(−x)=−F(x)，即f(−x)+x2=−f(x)−x2，∴f(−x)+f(x)=−2x2，即f(−2)+f(2)=−2×4=−8，∴f(−2)=−f(2)−8=−9．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了元素与集合的关系，交集及其运算的应用，解题的关键是熟练掌握元素与集合的关系，交集及其运算，根据已知及元素与集合的关系，交集及其运算，求出A∩B的值．【解答】解：∵集合A={−1, 0, 1, 2, 3, 4},B={x|x<2}，A⋂B=｛−1，0，1｝．故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．利用指数函数的性质可求得集合B，通过解一元二次不等式可求得集合A，从而可求得(C R A)∩B．【解答】解：因为集合A={x|x2−3x+2<0}={x|1<x<2}，由3x>9，解得x>2，所以B={x|3x>9}={x|x>2}，则则(C R A)∩B={x|x>2}故选A．7.答案：B解析：本题考查函数奇偶性以及单调性，属于简单题，由题意得|a|>2，即可求得结果【解答】解：∵y=f(x)是R上的偶函数，且在(−∞,0]上是减函数∴y=f(x)在[0,+∞)是增函数∵f(a)>f(2)，∴|a|>2∴a<−2或a>2故选B8.答案：B解析：【分析】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．当m>0时，∵1x−1+2x−2≥m⇔mx2−(3+3m)x+2m+4(x−1)(x−2)≤0，令f(x)=mx2−(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．【解答】解：当m>0时，∵1x−1+2x−2≥m⇔mx2−(3+3m)x+2m+4(x−1)(x−2)≤0，令f(x)=mx2−(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，则m(x−x1)(x−x2)(x−1)(x−2)≤0，且x1+x2=3+3mm=3+3m，∵f(1)=m−3−3m+2m+4=1>0，f(2)=4m−6−6m+2m+4=−2<0，且f(x)图象的对称轴为3+3m2m =32+32m>1，∴1<x1<2<x2，所以不等式的解集为(1,x1]∪(2，x2]，∴l=x1−1+x2−2=x1+x2−3=3+3m −3=3m，当m<0时，结合穿针引线法可知l为无限大，故选：B．9.答案：D解析：本题考查函数图象的作法，属于较易题.根据函数性质排除即可．【解答】解：因为函数图象不过(0,1)点，所以排除A，>0，排除B，当a>1时，函数图象与y轴交点的纵坐标为1−1a<0，排除C．当0<a<1时，函数图象与y轴交点的纵坐标为1−1a故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．【解答】解：“对任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)”说明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，符合题意．只有f(x)=1x故选A．11.答案：C解析：【分析】先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．【解答】解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B错，甲企业其他费用开支确实最低，故C正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D错误，故选：C．12.答案：B解析：本题考查根的存在性及根的个数判断及对数函数与分段数函数的图象与性质，由已知中可以得到函数f(x)是一个周期为2周期函数，将方程f(x)=log a x 恰有3个不同的实数解，转化为函数f(x)的与函数y =log a x 的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a 的取值范围．【解答】解：由题意可知，f(x)是以2为最小正周期的周期函数，当x ∈[0,2]时，f(x)=1−|x −1|={x 0≤x <12−x 1≤x ≤2，作出函数f(x)的图像，因为与函数f(x)由3个零点，故，故选B ． 13.答案：0解析：【分析】本题主要考查二次函数在区间上的最值，考查学生计算能力，属于基础题．解题关键是利用二次函数性质，求出单调区间，即可计算最值．【解答】解：g(x)=x 2−2x =(x −1)2−1，所以二次函数对称轴为x =1，开口向上；因为x ∈[2,4]，所以g (x )在[2,4]单调递增，所以g(x)的最小值g (2)=0；故答案为0．14.答案：2解析：解：函数f(x)={x −2,x >0−x 2+bx +c,x ≤0满足f(0)=1，可得c =1，f(0)+2f(−1)=0，可得−1−b +1=−12，b =12，x+1，∴当x>0时，g(x)=f(x)+x=2x−2=0，解得x=1，当x≤0时，g(x)=f(x)+x=−x2+32．令g(x)=0，解得x=2舍去，或x=−12综上函数的零点有2个．故答案为：2．利用已知条件求出b，c，然后求解函数零点的个数．本题考查分段函数的应用，函数零点个数，考查转化思想以及计算能力．15.答案：4解析：【分析】本题考查对数的定义，以及对数的运算．属于基础题.进行对数的运算即可．【解答】lg52+lg2+3=lg5+lg2+3=lg10+3=4．解：原式=12故答案为：4．16.答案：12解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题.根据函数的奇偶性的定义进行解答即可；【解答】且x≠a}．解：函数f(x)的定义域为{x|x≠−12又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a=1．217.答案：[0,12]解析：【分析】本题考查函数的最值，解题的关键是配方，确定函数的单调性，属于中档题．配方可得，f(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4，函数的对称轴为直线x=−1，确定函数在[1,3]单调递增，从而可求函数值域．【解答】解：f(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4的对称轴方程为x=−1，则在[1,3]为增函数，且f(1)=0,f(3)=12，所以函数f(x)=x2+2x−3,x∈[1,3]的值域为[0,12]，故答案为[0,12]．18.答案：−2解析：【分析】通过赋值法求得f(0)=0，f(−x)=−f(x)，说明f(x)为奇函数，通过f(1+1)=f(1)+f(1)=4，即可求得f(1)，从而可求得f(−1).本题考查抽象函数及其应用，奇函数的性质，赋值法的应用，属于中档题．【解答】解：∵f(x)对任意x、y满足f(x+y)=f(x)+f(y)，∴令x=y=0得：f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0；再令y=−x代入得：f(0)=f(x)+f(−x)=0，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)为奇函数．∵f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=4，∴f(1)=2，又f(x)为奇函数，∴f(−1)=−f(1)=−2．故答案为−2．19.答案：解：(1)∵1∈A；∴1−a+3=0；∴a=4；(2)∵A∩B={3}；∴3∈A，3∈B；∴{9−3a+3=018−3b+b=0；解得a=4，b=9；∴A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，B={x|2x2−9x+9=0}={32,3}；∴A∪B={1,32,3}．解析：本题考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，以及交集、并集的运算及定义，属于基础题．(1)根据1∈A，将x=1带入方程x2−ax+3=0即可求出a的值；(2)根据A∩B={3}可得出3∈A，3∈B，从而可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．20.答案：解：(1)设t=2x，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]；函数f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b，(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1即g(t)=at2−2at+1−b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)；g(t)=at2−2at+1−b开口向上，对称轴方程为t=1，则g(t)在[2,4]上单调递增；g(2)=4a−4a+1−b=1，g(4)=16a−8a+1−b=9；所以a=1，b=0；(2)方程f(x)−k⋅4x=0在x∈[−1,1]上有解；即4x−2x+1+1=k⋅4x在x∈[−1,1]上有解；∴k=14x −22x+1在x∈[−1,1]上有解；设ℎ(x)=14x −22x+1，令12x=m∈[12,2]；所以y=m2−2m+1=(m−1)2，(m∈[12,2])；则0≤m2−2m+1≤1；所以ℎ(x)∈[0,1]；故实数k的取值范围[0,1]；解析：(1)设t=2x，g(t)=at2−2at+1−b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)，求二次函数在闭区间上的最值问题；(2)分离参数得k=14x −22x+1在x∈[−1,1]上有解；即求函数ℎ(x)=14x−22x+1在[−1,1]上的值域；本题考查二次型函数的值域问题，考查换元思想，分离参数的思想，属于中档题．21.答案：解：(1)设f(x)=ax2+bx+c，a≠0，则f(0)=c，由题意c=3，f(x+2)−f(x)=4ax+(4a+2b)，由题意4a=4，4a+2b=2，解得a=1，b=−1，故f(x)=x2−x+3;(2)由(1)知，函数的对称轴为x=12，由已知t +1>2t,∴t <1，要满足题意即t +1≤12或2t ≥12，解得t ≤−12或14≤t <1;(3)由题意得x 2−x +3≥2x +2m +1在[−1,1]上恒成立．即2m ≤x 2−3x +2在[−1,1]上恒成立．设g (x )=x 2−3x +2=(x −32)2−14， ∵x ∈[−1,1]，∴x =1时，g (x )的最小值为0．∴m ≤0;(4)由(1)知，函数的对称轴为x =12，①当t +1≤12时，即t ≤−12，f (x )min =f (t +1)=t 2+t +3，②当t ≥12时，f (x )min =f (t )=t 2−t +3，③当−12<t <12时，f (x )min =f (12)=114，所以表达式为g (t )={t 2+t +3 t ≤−12114 −12<t <12 t 2−t +3 t ≥12由函数图像求得函数的值域为[114,+∞)．解析：本题考查二次函数的解析式，函数的单调性以及不等式恒成立问题，以及函数的值域的求法，属中档题．(1)设f (x )=ax 2+bx +c ，a ≠0，则f (0)=c ，由题意c =3，f (x +2)−f (x )=4ax +(4a +2b )，求出a ，b 即求出解析式；(2)由(1)知，函数的对称轴为x =12，要满足题意即t +1≤12或2t ≥12，求t 的取值范围；(3)由题意2m ≤x 2−3x +2在[−1,1]上恒成立.设g (x )=x 2−3x +2=(x −32)2−14，求函数最值，即求出m 的取值范围；(4)根据函数的对称轴对t 进行讨论，得到最小值的表达式，并求出值域． 22.答案：解：对于集合{0,1，2，3}，0∈{0,1，2，3}，−0∈{0,1，2，3}，所以{0,1，2，3}不具有性质P.由题意知{−1,2，3}具有性质P ．由−1，2，3可以组成六对有序实数对，分别是(−1,2)，(−1,3)，(2,3)，(2,−1)，(3,−1)，(3,2)．根据集合T的定义一一检验，可知(2,−1)，(2,3)是集合T中的元素，所以与{−1,2，3}对应的集合T 是{(2,−1)，(2,3)}．解析：【分析】利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合T的定义写出T．。