1 可化为 n X i 近似地 i 1 / n
则有
Xi
i 1
~ ~ ~
近似地
n
~
N (0,1)
N (0,1)
1 n 记 X Xi n i 1
大样本统计推 断的基础
N (0,1)
N ( nu, n 2 )
例1：某汽车销售点每天出售汽车数服从参数 为2的泊松分布. 若一年365天都经营汽车销售, 且每天出售的汽车是相互独立的, 求一年中售出 700辆以上汽车的概率. 解 记Xi为第i天出售的汽车数量, Y X1 X 2 X 365 为一年的总销量. 利用林德贝格-列维中心极限定理, 可得
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1

X
i 1
n
i
n
近似地
n
~
N (0,1)
考虑特殊情况: 均服从参数为p的0-1分布 于是有 棣莫弗-拉 普拉斯中心 极限定理
X
i 1
n
i
np 近似地
np(1 p)
n

x
1 e 2
t2 2
dt Φ ( x ) .
定理（说明）
P{ lim Fn ( x ) lim n
n
X
i 1
n
i
n x} ( x )
n
i

x

1 t 2 / 2 e dt 2
即，n 充分大时，有
Yn
n
X
i 1
n
n 近似地
主要内容
问题提出 林德贝格-列维 (中心极限定理) 棣莫佛-拉普拉斯定理 归纳小结
一、问题的提出
中心极限定理的客观背景 在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的 总的影响。
例如: 考虑大炮的射程.
大炮的射程受很多随机因素的影响:
如大炮炮身结构导致的误差；
瞄准时的误差； 受风速、风向影响产生的误差； 发炮士兵技术引起的误差等等。 对我们来说重要的是这些随机因素的总的影响。
令 Z Xi ,
i 1 n
根据林德贝格-列维中心极限定理, Z近似服从 N 2n, 2.25n.
则有
Z 2n 200 2n PZ 200 P 2.25n 2.25n
200 2n 0.95. 2.25n
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1

X
i 1
n
i
n
n
的 分 布 函 数 Fn ( x ) , 对 x R , 一 致 地 有
lim Fn ( x ) lim P ( i 1
n
X
n
i
n x)
（证略）
n
这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760 之间的概率近似为0.90.
例3： 某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差2.25kg2. 问: 至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少200kg 的概率为0.95?
解 设此人共钓n次, 各次钓到的鱼 的重量为随机变量Xi , 则 EXi 2, DXi 2.25.
例2 ：某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾的 消费额(元)服从(20, 100)上的均匀分布, 且顾客 的消费额是相互独立的. 试求: (1)该餐厅每天的平均营业额; (2)该餐厅每天的营业额在平均营业额760元 的概率. 解 设Xi为第i位顾客的消费额, Xi ~U20, 100. 所以 EXi 60, DXi 16003.
而该餐厅每天的营业额为Y X i .
i 1
400
(1)该餐厅每天的营业额为
E (Y ) E ( X i ) 400 60 24000
(2)利用林德贝格-列维中心极限定理, 知
i 1
400
Y ~N(24000,400 1600/3)
760 P ( 760 Y 24000 760) 2Φ( )1 400 1600 3 2(1.645 ) 1 0.90
200 2n 查表得 1.645. 即n满足方程 1.5 n
n 1.23375 n 100 0
解方程, 得n=113.12. 因此, 取n=114即可.
定理4.7 棣莫佛-拉普拉斯定理
设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布，且具有数学期 望和方差：E ( X k ) , D( X k ) 2 0( k 1,2,), 记
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1

X
i 1
n
i
n
的分布函数的极限.
n
可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.
二、中心极限定理
定理4.6 林德贝格-列维 (中心极限定理)
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 相 互 独 立 , 服 从 同 一
由E Xi D Xi 2
700 730 则有P Y 700 1 P Y 700 1 730 1 1.11 0.8665.
则一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.
Y ~ N (730,730)
2 E ( X ) D ( X ) 0 ( i 1,2, ) , 则 分 布 ,且 有 , i i
随机变量之和
n
X
i 1
i
n
i
的标准化变量
n
Yn
X
i 1
E ( X i )
i 1 n

X
i 1
n
i
n
D( X i )
i 1
n
的 分 布 函 数 Fn ( x ) , 对 x R , 一致地有
研究表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响 所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种 量一般都服从或近似服从正态分布. 下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个 随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？