x
dx
f (x)
类似地，由0c yd ， 0 x( y) 所围成的图形绕
x
轴
旋转所成的旋转体的体积为：Vx
d
2c
y(
y)dy
。
3．4．4 旋转体的侧面积
设 f ( x) 在[a,b ]上非负，且有连续的导数。求由直线 xa ， xb ， y0 和曲线 y f ( x) 围成的平面图形， 绕 x 轴 旋转一周所形成的旋转体的侧面积。
ytan
x
R
y
o
y
R
x
(二)旋转体的体积
1．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，求由直线xa ，xb ，
y0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形绕 x 轴旋转
而成的旋转体的体积。
y
dV A( x)dx[ f ( x)]2 dx ， y f (x)
Vx
b
[
f
(
x)]2dx
a
b y2dx.
a
o
a
x xdx b x
2. 设( y) 在[c,d ] 上连续，求由直线 yc ，yd ， x0 和曲线 x( y) 所围成图形绕 y 轴 旋转而成的
旋转体的体积。
y
dV [( y)]2dy 。
Vy
d
[(
y)]2dy
c
d x2dy
c
d
ydy
y
x( y)
c
o
x
例 2．求由 x2 y2 2 和 y x2 所围成的图形分别
设有一立 体 位于平面 xa, xb (ab) 之间，已知它被
过点 ( x, 0, 0) (a xb) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
积为 A( x) ，假定 A( x)是 x 的连续函数，求 立 体 的 体积V 。
z
A( x)
y
oa x
bx
z
A( x)
y
o a x xdx b x
取 x 为积分变量，积分区间为[a,b] 。在[a,b] 上任取一
例
2．求椭圆
x acost , y bs int .
(0 t 2)
的面积。
y b
a
o
ax
b
(二)极坐标系中平面图形的面积
由曲线r r() 及两条射线 ， () 所围成的
图形称为曲边扇形。 求曲边扇形的面积 A ，积分 变量是 ，[, ] 。 [, d][, ] ，以 处的极径 r() 为半径，以d
f ( x)0 ，则 A b a
f
(
x
)dx
b a
f ( x) dx 。
（3） 若在[a,b]上
f
(x)
有正有负，则
b
A a
f ( x) dx 。
2．设 f ( x) 、 g( x) 是[a,b] 上的连续函数，且 f ( x) g( x) ， 求由直线 xa ， xb ，和曲线 y f ( x) 、 y g( x) 所围 成的平面图形的 面积 A 。
为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，即
dA 1[r()]2 d 2
A 1
[r
()]2
d.
2
r r()
r()
d d
o
x
例 3.求由两条曲线 r3cos 和 r1cos 所围成的 阴影部分的面积。
A( 3, )
2 3 r3cos
r 1cos
o x
3 B( , )
23
二、体积
（一）平行截面面积为已知的立体的体积
壳看作是一个中空圆柱体，沿着中空圆柱体的高剪
开展平，它近似于一块长方形的薄片，于是薄壳的
体积近似等于以 f ( x) 为 高，以 2x 为 长，以 dx 为 厚
的长方体的体积，即旋转体的体积微元为
dv 2x f ( x)dx
y
b
Vy a 2x f ( x)dx
f (x)
a
o
b
x xdx
x
2x
f (x)
oa
故
A 2
b
f (x)
1 f 2( x)dx.
a
y f (x)
x x xdx b
[ 圆台的侧面积= 母线长(上底半径下底半径 ) 。在极限 状态，母线长是弧微元dL ；上底半径下底半径 2 f ( x) 。]
3．4．3 面积和体积
一、面积
（一）直角坐标系中的平面图形的面积
1．设函数 f ( x)C[a,b]，求由直线 x a, x b, y 0 和 曲线 y f ( x) 所围成的平面图形的面积 A 。
（1） 若在 [a,b] 上
f ( x)0 ，则 A b a
f ( x)dx
。
（2） 若在 [a,b] 上
x
2
2
(2, 2)
求平面图形面积的基本步骤：
（1）作曲线图形、确定积分变量 及积分区间；
（2）求面积微元； （3）计算定积分。
当曲边梯形的曲边由参数方程
x (t ) y f (t)
(t1
t
t2
)
，
给出时，曲边梯形的面积为
t2
t2
A f (t)d[(t)] f (t)(t)dt
t1
பைடு நூலகம்
t1
其中t1, t2 分别是曲边的起点与终点对应的参数值。
y y f (x)
dA y g(x)
o a x xdx b x
dA[ f ( x) g( x)]dx
b
A a [ f ( x) g( x)]dx
3． ( y) 、( y) 是[c,d] 上的连续函数，且( y)( y) ， 求由直线 yc ， yd 和曲线 x( y) 、x( y) 所围 成的平面图形的 面积 A 。
代表小区间[ x, x dx ] ，对应的立体中一薄片的 体积 V
近似等于底面积为 A( x) ，高为dx 的柱体的体积 A( x)dx ，
即体积微元 所求体积为
dV A( x)dx ，
V
b a
A(
x)dx
。
例 1．设有半径为R 的正圆柱体，被通过其底的直径 而与底面交成 的 平面所截，求截得的圆柱楔的体积。
y
d
y dy
dA
y x( y)
c
o
x( y)
x
dA[( y)( y)]dy
d
A c [( y)( y)]dy
例 1.求由抛物线 y2 2x 及直线2x y20 所围图形的面积。
y
y22x
1 ( 1, 1)
2
o
x
ydy
dA
y
2
(2, 2)
2x y20
y
1 ( , 1) 2
y22x
2x y20
o1
[ x,xdx] [a,b] ， 设在[ x,xdx] 上相应的小旋
y y f (x)
转体的侧面积的微元为dA 。
在点 x 处旋转半径为 f ( x) ，
oa
x x xdx b
在曲线上点 P( x, f ( x)) 处的弧长微元 y
是 dL 1 f 2( x)dx ，
则 dA2f ( x)dL ，
绕 x 轴 、 y 轴 旋转而成的旋转体的体积。
y
y x2
1 o 1 x
x2 y22
y
2
y x2
1
o
x
x2 y22
例 4．证明：由 0a xb ，0 y f ( x) 所围成的图形
绕
y
轴
旋转所成的旋转体的体积为：V
y
b
2a
x
f
(
x)dx
。
证明：以 x 为 积分变量，把在[a,b] 上的任意子区间
[x,xdx]上对应的窄曲边梯形绕 y 轴 旋转而成的薄