图形称为曲边扇形 图形称为曲边扇形。 曲边扇形 [ 求曲边扇形的面积 A ，积分变量是θ ，θ∈ α, β] 。
为半径， [θ, θ + dθ]∈[α , β ] ， 以 θ 处的极径 r ( θ ) 为半径， 以 dθ 为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，即 为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元 ，
x = ( t ), 表示， 若曲线是由参数方程 (α ≤ t ≤β ) 表示， y = f ( t ),
则弧长元素为
ds = (dx ) 2 + (dy ) 2 = [′( t )dt ]2 +[ f ′( t )dt ]2
′(t )]2 +[ f ′(t )]2 dt. 即 ds= [
S=∫
∫
∫
∫
S2
S1
t3 1 t3 2 3 = t 3 0 + 0+ t + t , 3 3 3
o
4 3 2 1 即S(t )= t t + , (0≤t ≤1). 3 3
′( t )= 4t 2 2t = 2t ( 2t 1) S
1 令 S ′( t ) = 0 ， 得 t = 0 ， t = 。 2
r =a(1+cosθ)
∫0
π
(1 + 2cos θ + cos 2 θ )d θ
o
x
1 = a ∫ ( + 2cosθ + cos2θ)dθ 0 2 2
2
π 3
1 π 3 2 = a ( θ + 2sinθ + sin2θ) = πa . 0 2 2 4
2 3
例 5.求由两条曲线 r = 3cosθ 和 r =1+ cosθ 所围成的
β α
[′(t )]2 +[ f ′(t )]2 dt
x = a ( t sin t ) 的长度。 例 2． 计算摆线 的一拱 0≤ t ≤ 2π 的长度 。 y = a (1 cost ) y
解： x′( t )= a(1 cost ) ，
y ′( t ) = asin t ，
dS = [a (1 cost )]2 +[asin t ]2 dt
解 ： y = R 2 x 2 ( x ≥ 0, y ≥ 0 ) ，
y
x2 + y2 =R2
y′ =
x R x
′2
2 2
,
R R2 x 2
R
o
R x
dS = 1+ y dx =
S=4
dx ,
R 0
∫0
R
R dx R2 x2
x = 4 R arcsin R
π = 4 R = 2πR. 2
三、参数方程情形
3.4.2 弧长
一 、 平面曲线弧长的概念
⌒ 曲线弧上的两个端点， 设 A, B 是 曲线弧上的两个端点，在弧 AB 上 任取分点
A= M , M 1 , M 2 ,, M i 1 , M i ,, M n1 , M n = B ，
并依次连接相邻的分点得一内接折线，此折线长为 并依次连接相邻的分点得一内接折线，
r =r(θ) θ
1 2 dA= [r(θ)] dθ 2 1 β A= ∫ [r(θ)]2dθ. 2 α
β dθ
o
αθ
r(θ) θ θ+dθ
x
例 4.求心形线 r = a (1+ cos θ )( a > 0) 所围成的图形的 面积 A 。
解： A = 2 ∫
=a
2
π
0
1 [ a (1 + cos θ )]2 dθ 2
t2
f (t )′(t )dt
t1
分别是曲边的起点与终点对应的参数值。 其中 t1 , t 2 分别是曲边的起点与终点对应的参数值 。
= 任一点， 例 3．设 y= x 2 定义在 [0, 1]上 ， t 为 [0, 1]上 任一点，问当
t 为 何值时 ，图中两阴影部分的面积之和 S1 + S 2 具有
y
y= f (x) =
dA
y= g(x) =
dA = [ f ( x ) g ( x )]dx
A = ∫ [ f ( x ) g ( x )]dx
b
oa
x x+dx +
b
x
a
上的连续函数， 3． ( y ) 、 ψ( y ) 是 [c ,d ] 上的连续函数，且 ( y )≥ ψ( y ) ， 求由直线 = 求由直线 y= c ， y= d 和曲线 x = ( y ) 、 x = ψ( y ) 所围 = 成的平面图形的 成的平面图形的 面积 A 。 平面
积分区间为[2 , 1) 2
x
dA
(2, 2)
1 1 2 dA 面积微元为： 面积微元为： = [( 1 y ) y ]dy , 2 2 1 1 1 2 9 面积 A= ∫ (1 y ) y dy = 。 2 2 2 4
2x+ y2=0
另解： 积分变量， 另解 ： 以 x 为 积分变量 ， 积分区间为[0 2]， [0， 积分区间为[0，2]，
S n = ∑ M i 1 M i ，
i =1
n
y
M1 A=M =
Mi1 Mi
其中 M i1 M i 表示 的长。 线段 M i 1 M i 的长。
B=Mn =
o
x
如果上述折线，当分点无限增加且最大线段长趋于零 如果上述折线，当分点无限增加且最大线段长趋于零 折线
⌒ 的弧长 时，折线 S n 有极限 S ，则称 S 为曲线弧 AB 的弧长，即
0
2
a
0
y
b
= 4ab ∫
0
π 2 sin 2 tdt
a
o
b
a
x
1 π = 4ab = πab. 2 2
x = ( t ) ( t1 ≤ t ≤ t 2 ) ， 当曲边梯形的曲边由参数方程 y = f (t )
给出时， 给出时，曲边梯形的面积为
A= ∫
t2
t1
f (t )d[(t )]= ∫
∴ ds = (dx )2 + (dy )2 = r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ ,
′(θ)]2 dθ 弧长元素 dS = [r(θ)] +[r
2
弧长 S = ∫
β
α
′(θ)]2 dθ [r(θ)] +[r
2
θ 3.求极坐标系下曲线 的长。 例 3.求极坐标系下曲线 r = a sin (a > 0, 0≤ θ≤ 3π ) 的长。 3
3π
3．4．3 面积和体积
一、面积
（一）直角坐标系中的平面图形的面积
1．设函数 f ( x )∈C [a ,b] ，求由直线 x = a, x = b, y = 0 和 ． 曲线 y= f ( x ) 所围成的平面图形的 面积 A 。 =
（1） 若在 [a ,b] 上 f ( x )≥ 0 ，则 A= ∫ ）
dx
x
x+dx b x +
上可导， 定理： 连续， 定理：若函数 f ( x )在[a ,b] 上可导，且 f ′( x ) 连续， 可求长， = 则在 [a , b] 上的曲线 y= f ( x ) 可求长，且弧长
S=∫
b a
1 +[ f ′( x )]2 dx 。
的弧长。 例 1． 求圆 x 2 + y 2 = R 2 的弧长 。 ．
1 1 1 2 ∵ S (0)= ， S ( )= ， S (1)= ， 3 2 4 3
2 1 ∴ S ( t ) = S1 + S 2 的最大值 是 ， 最小值 是 。 3 4
(二)极坐标系中平面图形的面积
由曲线 r = r (θ) 及两条射线 θ = α ， θ = β (α < β ) 所围成的 θ
o
2πa
x
t = a (2 2 cos t ) dt = 2a sin dt 2
2
t t 2π ∴ S = ∫ 2asin dt = 2a[2cos ] = 8a 。 0 2 2 0
2π
四 、 极坐标方程情形
表示， 若曲线是由极坐标方程 r = r (θ) ， (α ≤ θ≤β ) 表示， θ x = r (θ ) cosθ ∵ y = r (θ ) sinθ
小切线段的长度
y
y= f (x) =
S
dS dy
(dx ) 2 + (dy ) 2 = 1+ y′ 2 dx ，
可以证明小切线段的长与 可以证明小切线段的长与 S 2 高阶的无穷小。 之差是关于 dx 高阶的无穷小。 b 弧长S =∫ 1+ y′2dx 。 oa
a
弧长元素dS = 1+ y′ dx ，
9 A= 2∫ 2 x dx + ∫ 1 ( 2 2 x + 2 x )dx = . 0 4 2
1 2
2
求平面图形面积的基本步骤： 求平面图形面积的基本步骤
（ 1 ） 作曲线图形、 确定积分变量 作曲线图形 、 及积分区间； 及积分区间 ； 求面积微元； （ 2 ） 求面积微元 ； 计算定积分。 （ 3 ） 计算定积分 。
阴影部分的面积。 阴影部分的面积。
作出它们的草图， 解：作出它们的草图，
r = 3cosθ 解方程组 ， r =1+ cosθ
3π A( , ) 23
r=3cosθ
r=1+cosθ
o
x
3 π 3 π 得交点 A( , ) ， B ( , ) 。 B( 3,π) 2 3 2 3 2 3