第3章 圆的基本性质 单元复习3.1 圆3.1.1 圆·连接圆上任意两点的线段叫做弦。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

3.1.2 垂直于弦的直径·垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

3.1.3 弧、弦、圆心角1、顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。

推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。

例2 如图，在⊙O 中，AB ⊥AC 且AB =AC ，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，.求证四边形ADOE 是正方形。

证明：∵AB ⊥AC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC∴∠OEA =∠EAD =∠ADO =90° ∴四边形ADOE 是矩形 ∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ∴D 、E 分别平分AB 、AC （垂径定理） ∵AB =AC ∴AD =AE ∴四边形ADOE 是正方形。

例1 赵州桥的主桥拱为圆弧形，它的跨度为37.4m ，拱高为7.2m ，求主桥拱的半径。

解： 如图，⌒AB 表示主桥拱，设⌒AB 所在的圆心为O ，半径为R ，过O 作OC ⊥AB 交AB 于D ，根据垂径定理，D 为AB 的中点。

已知：AB =37.4m ，CD =7.2m ，∴AD =AB ÷2=18.7m ，OD =R -7.2在Rt △AOD 中，R 2=18.72+(R -7.2)2，解得R ≈27.9m答：主桥拱的半径约为27.9m 。

例3 如图，在⊙O 中，⌒AB =⌒AC ，∠ACB =60°，求证∠AOB =∠BOC =∠COA 。

证明：∵⌒AB =⌒AC∴AB =AC ，△ABC 为等腰三角形 （相等的弧所对的弦相等） ∵∠ACB =60° ∴△ABC 为等边三角形，AB =BC =CA ∴∠AOB =∠BOC =∠COA （相等的弦所对的圆心角相等）3.1.4 圆周角1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。

4、圆内接四边形的对角互补。

求证：圆内接四边形的对角互补。

证明：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∵∠A 所对弧为⌒BCD ，∠C 所对弧为⌒BAD ， 且⌒BCD 和⌒BAD 所对的圆心角的和为周角 ∴∠A +∠C =360°÷2=180° 同理∠B +∠D =180° ∴圆内接四边形的对角互补。

例5 如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ， 求BC 、AD 、BD 的长度。

解： ∵AB 是直径（已知） ∴∠ACB =∠ADB =90°（直径所对的圆周角是直角） 在Rt △ABC 中，BC =102-62=8cm （勾股定理） ∵CD 平分∠ACB （已知） ∴∠ACD =∠BCD （角平分线定义） ∴⌒AD=⌒BD （两个圆周角相等，则所对的弧也相等） ∴AD =BD （相等的弧所对的弦相等） 在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2=AB 2（勾股定理） ∴AD =BD =102÷2=52cm例4 求证：①如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 .三角形。

②圆内接平行四边形是矩形。

证明①：如图，设OC 为AB 边上的中线，以OC 为半径画圆， ∵AB =2OC ∴AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB =90°（直径所对的圆周角是直角） ∴△ABC 为直角三角形。

证明②：∵它是平行四边形 ∴对角相等 ∵它是圆内接四边形 ∴对角互补 ∴一组对角为180°÷2=90° ∴它是矩形。

3.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r。

（“⇔”读作“等价于”，表示可以从符号“⇔”的一端得到另一端）2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。

3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平分线，交点即为圆心，以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。

4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

例6.求证：经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。

证明：假设过同一直线l上的三个点A、B、C可以作出一个圆如图，设这个圆的圆心为O，则点O在AB、BC的垂直平分线l1、l2上即点O是l1、l2的交点，因为l1⊥l，l2⊥l与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾所以经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。

3.2.2 直线和圆的位置关系1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。

当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

当没有公共点时，叫做直线与圆相离。

2、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：直线l与圆相交⇔d<r；直线l与圆相切⇔d=r；直线l与圆相离⇔d>r。

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

例7 如图，直线AB经过⊙O上的点C，OA=OB，AC=BC，求证直线AB是⊙O的切线。

证明：连接OC∵OA=OB∴△AOB是等腰三角形∵AC=BC∴OC是AB边上的中线∴OC⊥AB（三线合一）∴直线AB是⊙O的切线。

（切线的判定定理）4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。

5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的内心。

确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。

例8.如图，△ABC的内切圆⊙O分别与三边相切于D、E、F，已知AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长度。

解：设AF=x cm，则AE=x cmCE=CD=(13-x)cm（切线长定理）BF=BD=(9-x)cm（同上）∵BD+CD=BC∴(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4cm，BD=9-4=5cm，CE=13-4=9cm3.2.3 圆和圆的位置关系1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)）。

其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。

2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)）。

其中(2)叫做外切，(4)叫做内切。

3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)）。

4、若两个圆的半径分别为r1、r2（r1>r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则外离d>r1+r2内含d<r1-r2外切d=r1+r2内切d=r1-r2相交r1-r2<d<r1+r2例9如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线CD垂直，.求证AC平分∠BAD。

证明：连接OC∵CD与⊙O相切（已知）∴OC⊥CD（切线的性质定理）∵AD⊥CD（已知）∴AD∥OC（平行于同一直线的两条直线平行）∴∠CAD=∠OCA（两直线平行，内错角相等）∵OA=OC（所有的半径长度相等）∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）∴∠OAC=∠CAD（等量代换）∴AC平分∠BAD（角平分线定义）3.3 正多边形和圆1、将一个圆分成n 段相等的弧，再将弧的端点顺次连接，即可得到圆内接正n 边形，这个圆就叫做正n 边形的外接圆。

2、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，其外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角，中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。

3、画边长为R 的正六边形的方法：①以R 为半径作圆，用量角器画出一个(360°÷6=)60°的圆心角，它对着一段弧，在圆上依次截取与它相等的弧，得到圆的6等分点，顺次连接即可。

②以R 为半径作圆，找圆上一点依次截取等于R 的弦，便能六等分圆，连接分点即可。

4、尺规画正方形的方法：在圆内画两条互相垂直的直径，便能四等分圆，连接分点即可。

例12 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，剪去四个角后得到一个正八边形， .求它的边长和面积。

（保留根号）解：设正八边形的边长PQ =OP =x cm ，则AO =AP =4-x 2cm ， 在Rt △AOP 中，2(4-x 2)2=x 2，解得x =±42-4 ∵x >0，∴舍去根-42-4∴边长=42-4，AO =4-2 2∴面积S 八边形=S 正-4S △=42-(4-22)2÷2×4=322-32 答：正八边形的边长为(42-4)cm ，面积为(322-32)cm 2。

例10 如图，将⊙O 分成相等的5段弧，顺次连接得到五边形ABCDE ，.求证五边形ABCDE 是⊙O 圆内接正五边形。

证明：∵⌒AB =⌒BC =⌒CD =⌒DE =⌒EA∴AB =BC =CD =DE =EA （相等的弧所对的弦相等）∵⌒BCE =⌒CDA =3⌒AB ∴∠A =∠B （等弧所对的圆周角相等）同理∠B =∠C =∠D =∠E∵五边形ABCDE 的顶点都在圆上∴五边形ABCDE 是⊙O 的圆内接正五边形。

例11 有一个亭子的地基如图所示，它是一个半径为4 m 的正六边形，.求地基的周长和面积（保留根号）。

解： 画正六边形的外接圆⊙O∵六边形ABCDEF 是正六边形 ∴中心角∠BOC =360°÷6=60° ∴△BOC 是等边三角形 ∴BC =R =4 m （正六边形的半径等于边长） ∴周长C =4×6=24 m 在Rt △COP 中，OC =4 m ，PC =4÷2=2 m ∴边心距r =42-22=23m ∴面积S =4×23÷2×6=123m 2正多边形补充知识：1、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆（即垂直平分线、角平分线的交点）。