a2t
xt
)
vn ln (an1x1 an2 x2 L ant xt )
7
三、矩阵最小二乘法
设列向量分别为：
l1
L
l2
M
ln
x1
Xˆ
x2
M
xt
v1
V
v2
M
vn
a11 a12 L a1t
A a21 a22 L
a2t
M
an1 an2 L ant
对应Y的n 个直接测 量结果
t个待求 X的估计
量
为直接测 量量结果 的残差
为（n×t) 系数矩阵
则残差方程的矩阵表达式为： V L AXˆ
等精度测量最小二乘原理的矩阵形式为：
V TV 最小 或 （L AXˆ）（T L AXˆ） 最小
8
四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理
思路一：
Pnn
p1 0 0 0 p2 0
Pnn
0 0
0 9 0 0
0
0
9
0
0 0 0 0 9
解矩阵得：
Xˆ
x1
x2
( AT PA)1 AT PL
4.186 2.227
22
三、非线性参数最小二乘处理的正规方程
针对非线性函数 yi fi (x1, x2,L , xt ) (i 1, 2,L , n)其测量 误差方程为：
v1 l1 f1(x1, x2 ,L , xt )
用，可以有效减少随机误差的影响，因而所得结果具有
最可信赖值。
6
二、等精度测量的线性参数最小二乘原理
线性参数的测量方程一般形式为： 相应的估计量为：
Y1 a11X1 a12 X 2 L a1t X t
Y2 a21X1 a22 X 2 L M
a2t
X
t
Yn an1X1 an2 X 2 L ant X t
Y2
f2(X1, X 2,
,
X
t
)
ln Yn fn ( X1, X 2 , , X t )
当n t时，该方程有唯一确定解，直接求出x1, x2,L , xt。 为减少随机误差的影响，一般取测量次数较大，即n t，
方程组有冗余，不可直接求解。 2
最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。
n
pivi
2 ＝最小
i 1
( n pivi2 )
i1
0
x1
n
(
pivi2 )
i 1
xn
0
18
由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：
p1a11v1 p2a21v2 L pnan1vn 0
p1a12v1 p2a22v2 L
M
M
pnan2vn M
0
p1a1tv1 p2a2tv2 L pnantvn 0
④求残余误差；
⑤计算直接测量量的精度（标准差）；
⑥求各估计量的标准差。
11
一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
线性参数的误差方程为：
v1 l1 a11x1 a12x2 a1t xt
v2
l2
a21x1 a22x2
a2t
xt
vn ln an1x1 an2 x2 ant xt
要使
n
vi2 v12 v22 L vn2 最小
i 1
(
n
vi2 )
i1
0
x1
n
(
vi2 )
i 1
xn
0
12
将极值方程整理得：
n
ai1li
n
ai1ai1x1
n
ai1ai2 x2
n
ai1ait xt
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
i 1
ai 2li
0 0
pn
0 0
2
2 1
0
2 22
0
0
0
2 n2
不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：
V T PV 最小 或 （L AXˆ）T P（L AXˆ） 最小
权矩 阵
9
思路二：将不等精度等精度化
v1 p1 l1 p1 a11 p1 x1 a12 p1 x2 L a1t p1 xt
v1 l1 f1(x1, x2 ,L , xt )
v2
l2
f2 (x1, x2 ,L M
,
xt
)
误差方程 式（残差 方程式）
vn ln fn (x1, x2 ,L , xt )
3
若l1,l2,L ,ln之间不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，
标准差分别为1, 2,L , n，则l1,l2,L , ln出现在相应真值附近
ti /0 C
10
20
30
40
50
60
li / mm 2000.36 2000.72 2000.8 2001.07 2001.48 2000.60
解：1）列出误差方程
vi li ( y0 ay0ti ) 令 y0 c, ay0 d 为两个待估参量，则误差方程为：
15
vi li (c tid)
n
v12 v22 L vn2 vi2 最小 i 1
不等精度测量的最小二乘原理为：
n
p1v12 p2v22 L pnvn2 pivi2 最小 i 1
最小二乘原理（其他分布也适用）：
测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残 余误差平方和）为最小的条件下求出。
按最小二乘条件给出最终结果能充分利用误差的抵偿作
1
§5-1 最小二乘法原理
一、经典最小二乘法
为求出t个不可直接测量的未知量X1, X 2,L
,
X
的估计
t
值x1, x2,L , xt ,可对与该t个未知量有函数关系的直接测
量量Y进行n次测量，得到测量数据为l1,l2,L ,ln。即：
l1 Y1 f1( X1, X 2 , , X t )
l2
i 1
ai2ai1x1
i 1
ai2ai2 x2
i 1
ai
2
ait
xt
n
n
n
n
aitli aitai1x1 aitai2 x2 aitait xt
i 1
i 1
i 1
i 1
此即为等精度测量的线性参数最小二乘法处理的正规方程。
当系数行列式不为零时，有唯一解。
特点：
1、主对角线分布着平方项系数，正数；
2、相对于主对角线对称分布的各系数两两相等。
13
若用残差表示，则正规方程可写成：
a11v1 a21v2 an1vn 0
a12v1 a22v2
an2vn
0
a1tv1 a2tv2 antvn 0
ATV 0
正规方 程的矩 阵形式
将 V L AXˆ 代入到 ATV 0 中，得： AT AXˆ AT L
第五章 线性参数的最小二乘法处理
• §5-1 最小二乘法原理 • §5-2 正规方程 • §5-3 精度估计 • §5-4 组合测量的最小二乘法处理
最小二乘法原理是一种在多学科领域中广泛应用的数据处理方法， 可解决如参数的最可信赖值估计、组合测量的数据处理、根据实验 数据拟和经验公式、回归分析问题等。本章重点阐述最小二乘法原 理在线性参数和非线性参数估计中的应用
23
fi (x1, x2 ,L , xt ) fi (x10, x20,L , xt0 )
(
fi x1
) 0 1
(
fi x2
)02
L
(
fi xi
)0
t
(i 1, 2L , n)
将上式代入误差方程中，令：
li ' li fi (x10 , x20 ,L , xt0 )
ai1
(
fi x1
)0
,
ai
10
§5-2 正规方程
由于n>t，因此不能直接通过求解方程得到未知参数，而 最小二乘法则将误差方程转化为确定解的代数方程组，从 而可求出这些未知参数，这个有确定解的代数方程组称为 最小二乘法估计的正规方程（或称法方程）。
线性参数的最小二乘法解的步骤：
①先列误差方程；
②利用求极值的方法列正规方程；
③求解正规方程；
y1 a11x1 a12 x2 L a1t xt
y2
a21x1 a22 x2 L M
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 L ant xt
其误差方程式为：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 L a1t xt )
v2 l2 (a21x1 a22 x2 L M
v2
l2
f2 (x1,
x2 ,L M
,
xt
)
vn ln fn (x1, x2 ,L , xt )
思路：先将非线性函数转化为线性函数，再按线性参数
的最小二乘法进行处理。
令：x1 x10 1, x2 x20 2 , L , xt xt0 t。现将函数
在x10, x20,L , xt0 处泰勒级数展开，取一次项，则有：
v2
p2 l2
p2 a21
p2 x1 a22
p2 x2 L a2t
p2
xt
M
vn
pn ln
pn an1
pn x1 an2
pn x2 L ant
pn
xt
vi '
li '
ai1 '