§5.4 衡量精度的指标
标准差σ是在观测量n→ ∞条件下的结果，又称为理 论平均值，不代表具体观测值实际误差的大小，但具 有如下的现实意义：
1.σ较小时，观测值中含较大误差的可能性较小， 反之则较大。
2.根据误差理论，误差绝对值大于σ的概率为0.317， 大于2σ和3σ的概率值则分别为0.045和0.003。
设有函数： Z F(x1, x2,, xn )
(a)
xi为独立观测值
设 xi有真误差 xi ，函数 Z 也产生真误差
对(a)全微分：
dZ

F x1
dx1

F x2
dx2

F xn
dxn
(b)
由于xi 和 是一个很小的量，可代替上式中的dxi 和dz
代入(b)得


mi
1 Pi
二、测量中常用的定权方法
3.水准测量的权与测站数成反比，或者与路线长度
成反比:
Pi

2
m2 i

c1 Ni
Pi

2
m2 i

c2 Li
4.角度测量的权与测回数成正比:
PL

2
mi2
ni
cm 2 m2
cni
5.距离测量的权与长度成反比:
Ps

2
ms2

c s
三、非等精度观测值的最或是值——加权平均值
得
mX
n
1 n2
m2

m n
由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误
差缩小了 n 倍。
●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。
4.和或差函数的中误差
函数式： Z x1 x2 xn
全微分： dz dx1 dx2 dxn
2.线性函数的中误差
设有函数式 Z k1x1 k2x2 knxn 全微分 dz k1dx1 k2dx2 kndxn
中误差式 mZ k12m12 k22m22 kn2mn2例：设有某线性函数Z4 14
x1

9 14
x2

1 14
x3
其中 x1 、x2 x、3 分别为独立观测值，它们的中误差
设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为
l1,l2,…ln, 其权分别为P1，P2，…Pn。则观测量的最或
是值为加权平均值：
L
P1l1 P2l2 Pnln P1 P2 Pn

Pl P
四、加权平均值的中误差
M

P


Pvv (n 1)P
……
……
● 系统误差可以消除或减弱。
(计算改正、观测方法、仪器检校)
§5.3 偶然误差的特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
§5.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
§6.2 测量误差的种类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差
1.粗差(错误)——超限的误差
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 计算改正
钢尺温度误差lt 计算改正
水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。
各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
•对于一组同精度观测值l i ，一次观测的中误差为 m，由权的定义，选定λ= m2，则一次观测值的权
为：
P

m2

m2 m2
1
•n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：
M m vv
n
n(n 1)
•同精度观测值算术平均值的权为：
PL


M2

n
m2 m2
n
二、测量中常用的定权方法
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P() f ()d
1
e

2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e

2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
2 单位权与单位权中误差
•对于一组不同精度的观测值l i ，一 次观测的中误差为mi ，设某次观测 的中误差为m，其权为P0，选定λ=
P0

m2 m2
1
m2，则有：
•数值等于1的权，称为单位权； 权等于1的中误差称为单位权中误
差，常用μ表示。对于中误差为mi
的观测值，其权为：
Pi

2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：

9 14

2
2
1 14

6
2
1.6mm
3.算术平均值的中误差式
函数式
x

l
n

1 n
l1

1 n
l2

1 n
ln
全微分
dx

1 n
dl1

1 n
dl2

1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12

1 n2
m22

1 n2
mn2
由于等精度观测时， m1 m2 mn ，m代入上式：
(d)
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2

f12x12

f
2 2
x22

f
2 n
xn2

2
f1
f 2 x1x2

(e)
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对K个(e)式取总和：
n
2

f12 x12

f
2 2
x22

f
2 n
xn2
2
fi f j xix j
(f)
i, j1
i j
通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤：
1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。
Pi mi2 称Pi为观测值l i 的权。即：有较高精度的观测值有较
大的权，反之有较小的权。
1.权的定义：
Pi


mi2
对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个
大于零的常数λ值（可定义λ=m02），就有一组对 应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：
P1 : P2 :: Pi


m12
第5章 测量误差及数据处理的基本知识
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6
概述 测量误差的种类 偶然误差的特性及其概率密度函数 衡量观测值精度的指标 误差传播定律 不同精度直接观测平差
§5.1 测量误差概述
◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
mh m n 2 9 6mm
§5.6 不同精度直接观测平差
一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中
权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。
1.权的定义：
设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为 mi(I=1,2…n)，选定任一大于零的常数λ，则定义权为：