三角形“四心”向量形式的充要条件应用1) O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0;2) O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA若O 是 ABC （非直角三角形 ）的垂心，故tan AOA tan BOB tan COC 02 2 23)O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC |(或OAOB OC )若O 是 ABC 的外心则 S BOC ：S AOC：S AOB sin BOC ：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin 2B : sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2COC 4） O 是内心 ABC 的充要条件是 OA (|A AB B | AC) OB ( BA AC |BA | |B B C C|) OC (|C CA A | |C C B B |) 0 AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 , e 3 ，则刚才 O 是ABC内心的 充 要 条件 可 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3) 0O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0若O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ：b ：c引进单位向量， 使条件变得更简洁。

如果记 sin B OB sin COC;以写成 故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA ABC 的内心;若O 是 ABC 的重心，则SBOCSAOCSAOB3SABC故OAPG 31(PA PB PC)OB OC0;G 为 ABC 的重心 .则S BOC ：SAOC： SAOBtan A ：tan B ：tan C（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2 ． H 是△ ABC 所在平面内任一点， HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC 的垂心 . 由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC,同理 HC AB ，HA BC .故 H 是△ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ） 例 3.（湖南 ）P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ABC 的 （ D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由 PA PB PB PC 得PA PB PB PC 0.即 PB （PA PC ） 0,即PB CA 0 则 PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P 为 ABC 的垂心. 故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及 “数量积为零，则两向量所在直线垂直 ”、三角形垂心 定义等相关知识 .将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及 “数量积为零，则两向量所在直0） 所在直线过 ABC 的内心 （ 是 BAC 的角平分线所在直线 ） ； （一）．将平面向量与三角形内心结合考查 例 1 ．O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三 AB AC） ， AB AC ），则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ） 个点，动点 P 满足OP OA （ 0, （A ）外心（ B ）内心（ C ）重心（ D ）垂心 解析：因为 AB是向量 ABAB 上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ， 基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 的单位向量设 AB 与 AC 方向又 OP OA ABCAP ，则原式可化为 AP （e 1 e 2） ，由菱形的中，AP 平分 BAC ，则知选 B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、 陌生” ，首先 AB零向量除以它的模不就是单位向量？ 法、向量的基本定理、菱形的基本性质、 们迁移到一起，解这道题一点问题也没有 是什么？没见过！想想，一个非 AB 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它 。

线垂直” 等相关知识巧妙结合。

（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4． G 是△ ABC 所在平面内一点， 重心.证明 作图如右，图中 GB GC GE 连结BE 和 CE ，则 CE=GB ，BE=GC 的中点， AD 为BC 边上的中线 . 将GB GC GE 代入 GA GB GC =0，得GA EG =0 GA GE 2GD ，故 G 是△ABC 的重心 .（反之亦然（证略） ）P 是△ABC 所在平面内任一点 .G 是△ ABC 的重心 PG 1（PA PB PC ）. 3∵G 是△ ABC 的重心OA 2OE ，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D 。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为 2 。

本题在解题的过程中将平面向量的有关运算1与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

（四）．将平面向量与三角形外心结合考查例 7若O 为 ABC 内一点， OA OB OC ，则 O 是 ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。

故 O 是 ABC 的外心，选 B 。

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。

（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量 OP 1 ， OP 2 ， OP 3 满足条件 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0，| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五 B 组第 6题）1证明 由已知OP 1 + OP 2 =- OP 3 ，两边平方得 OP 1 · OP 2 = 1，2例 5．证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)∴GA GB GC =0 AG BG CG =0，即 3PG PA PB PC 由此可得 PG例 6若O 为 A ．内心 解析：由 OA（PA PB 3ABC 内一点， B ．外心 OC 0 PC ） .（反之亦然（证略） ）OA C ．垂心 OB OC OA ，如图以 OB 、OC为相邻两边构作 ，则 O 是 ABC 的（ D ．重心 平行四边形，则 OB OC得OBOD ，由平行四边形性质知OE 21OD，E D1同理 OP 2 · OP 3 =OP 3 · OP 1=，2 ∴|P 1P 2 |=|P 2P 3|=|P 3P 1|= 3，从而△ P 1P 2P 3是正三角形 . 反之，若点 O 是正三角形△ P 1P 2P 3的中心，则显然有 OP 1 + OP 2 + OP3 =0 且|OP 1 |=| OP 2 |=|OP 3 |. 即 O 是△ ABC 所在平面内一点， OP 1 + OP 2 +OP 3 =0且|OP 1 |=|OP 2 |=| OP 3 | 点O 是正△ P 1P 2P 3的中心. 例 9．在△ ABC 中，已知 Q 、 G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证： Q 、G 、H 三点共 线，且 QG:GH=1:2。

【证明】：以 A 为原点， AB 所在的直线为 x (x 1,0)、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为 AB 、BC 、 D ( x 1 ,0)、E ( x 1 x 2,y 2)、F (x 2,y 2) 2 2 2 2 2 由题设可设 Q (x1,y 3)、H (x 2,y 4), 2 x 1 x 2 y 2 G( 1 2 , 2) 33 AH (x 2,y 4)，QF 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A(0,0) 、 B AC 的中点，则有： (x 22 x 21 ,y 22y 3) BC (x 2 x 1,y 2) AH BC AH ?BC y4 QF AC QF ?ACx 2 (x 2 x 2(x 2 x 1) y2x 1) y 2y 4 0y3x 2(x2 2 x 2(x 2 x 1) 2y 2 x 21) y 22y 2(y 22 y 3) 0QH(x 2x121,y 4y 3)2x 2 x 123x 2(x 2 x 1)2y 2y 22)QG(x 2y23 ，故 x12 3x 2(x 2 x 1) y 3) (2x 2 6 x 1 6y 2 y 62) 1 13( y 23 2x 2 2 x 2(x 2 x 1) 2y 2 3x 2(x 2 x 1 2y 2Q 、G 、H 三点共线， 且 QG ： GH=1： 2y 22) x 1)y 22)【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向 量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一 起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。

例 10．若 O 、 H 分别是△ ABC 的外心和垂心 . 求证 OH OA OB OC .证明 若△ABC 的垂心为 H ，外心为 O ，如图 . 连 BO 并延长交外接圆于 D ，连结 AD ， CD. ∴ AD AB ，CD BC .又垂心为 H ， AH BC ，CH AB ， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，∴四边形 AHCD 为平行四边形， ∴ AH DC DO OC ，故 OHOA AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（ 1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线” ； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的 2 倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 .例 11． 设 O 、 G 、 H 分别是锐角△ ABC 的外心、重心、垂心 求证 OG 1OH3证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心 OG 1（OA OB OC ）3按垂心定理 OH OA OB OC 由此可得 OG 1OH .3补充练习OP=1 （ 1 OA + 1 OB +2OC ）, 则点 P 一定为三角形 ABC 的 3 2 2 A.AB 边中线的中点 C.重心11 2OM ，由 OP = ( OA321．已知 A 、 B 、 C 是平面上不共线的三点， O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足 边中线的三等分点（非重心）边的中点 B.AB D.AB1. B 取 AB 边的中点 M ，则 OA OB + OB +2OC ) 可得2OP OA (AB AC)，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足： PA?PB PB?PC 0 ，则 P 点为三角形的(B ) (A )三个内角的角平分线的交点 (C )三条中线的交点 10. 如图 1，已知点 G 是 ABC 的重心，Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心6． 在三角形 ABC 中，动点2 P 满足： CA 2 CB 2AB?CP ，则 P 点轨迹一定通过△ ABC 的： ( B )Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心0，5．已知△ ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足： a PA b PB c?PC 点为三角形的 ( B )则△ ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形 解析：非零向量与满足 AB (| AB| |AC) · =0，即角 A 的平分线垂直于 |AC |BC ，∴ AB=AC ，又| AB| |cosA AB 12 ，∠A= ，所以△ ABC 为等边三角形，选3 D ．8. ABC 的外接圆的圆心为 O ，两条边上的高的交点为 H ，OH m(OA OB OC) ，则实数 m9.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OCOC OA ，则点 O 是 ABC 的线与 AB ，AC 两边分别交于 M ，N 两点，且B图1CAB 2 ，则Ｏ为 ABC 的 外心 Ｂ 内心重心 D 垂心2． 已知△ ABC 的三个顶点 A 、 B 、 C 及平面内一点 P 满足： PA PB PC D )0，则 P 为 ABC 的(Ａ 3．C ) 外心 Ｂ 内心 已知 O 是平面上一重心 D 垂心 C定点， A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：Ａ 外心4．已知△PA?PCＡ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心则P1 7.已知非零向量与满足 (+) ·=0且· =2 , (B ) (D ) 过G 作直三条边的垂直平分线的交点 三条高的交点AN yAC ，则 1 2 3 1 3 。