三角形“四心”的向量性质及其应用
三角形“四心”的概念介绍
(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等； (3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；
(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
工具：O 为ABC △内一点，则有：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 一、三角形的重心的向量表示及应用
知识：G 是ABC △的重心⇔)(3
1
AC AB AG +=
⇔0=++CG BG AG ⇔)(3
1
OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)
变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用
知识：O 是ABC △的外心⇔2
2
2
||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A
常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2
|| ;2||2
2AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅
三、三角形的垂心的向量表示及应用
知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅
⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+
0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A
扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心 四、三角形的内心的向量表示及应用
知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0
||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c
b a OC
c OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=
⇔
0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．
五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 2
1
=
． 测试题
一．选择题
1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P
满足AC AB OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ ，
则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 3．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P
满足AC AB OA OP +
+=λ，R ∈λ ，
则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 4．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P
满足AC AB OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ ，
则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
5．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足2
cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，R ∈λ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
6．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足])21()1()1[(3
1OC OB OA OP λλλ++-+-=，*R ∈λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．
A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．AB 边的中点 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22
1
21(31OC OB OA OP ++=
,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．AB 边的中点
8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=22
2
，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )
Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心
9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( ) A ．2 B ．
2
3
C ．3
D ．6 10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=
1λ，ABC
PCA S S
∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．
B
C
A M
N
G
定义),,()(321λλλ=P f ，若)6
1,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )
A ．点Q 在ABG ∆内
B ．点Q 在BCG ∆内
C ．点Q 在CAG ∆内
D ．以上皆不对 11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )
A ．
2
1
B ．0
C ．1
D ．21-
12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若2
2
2
OB BC OA =+2
2
2
AB OC CA +=+，
则O 是ABC ∆的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭
⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2
，则ABC ∆为( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形
二．填空题
15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = ． 16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO ． 17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5
1
52+=，则:ABC S ∆=∆AOB S ． 19．已知ABC ∆中，6||,5||
|===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ ．
20．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x ． 21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B
C
AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅
，则=m ． 22．在ABC ∆
中，1,==⊥AD BC AB AD ，则=⋅AD AC ． 三．解答题
23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，
且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：11
3x y
+=．
24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．
25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形．
26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．
27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．
28．已知),(),0,1(),0,0(c b C B O ，试写出△OBC 的重心G ，外心F ，和垂心H 的坐标，并证明H F G ,,三点共线． (2002全国)．
29．已知G 、M 分别为不等边ABC △的重心与外心，)0,1(-A 、B )0,1(且GM ∥AB ，(1)求点C 的轨迹方程； (2)若直线l 过点(0，1)，并与C 的轨迹曲线交于P 、Q 两点，且满足0=⋅OQ OP (O 为坐标原点)，求直线l 的方程．
30．已知P 是非等边△ABC 外接圆O 上任意一点，(外接圆半径为R ) 试问P 位于何处时，2
22PC PB PA ++取得最大值和最小值．。