第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题中的假命题是( )． A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0解析 对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0正确；对于B ，当x 0＝π4时，tan x 0＝1，正确；对于 C ，当x ＜0时，x 3＜0错误；对于D ，∀x ∈R,2x ＞0，正确．答案 C2．(2012·杭州高级中学月考)命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )．A ．∃x 0＞0，x 20＋x 0＞0B ．∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞0 解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0. 答案 B3．(2012·郑州外国语中学月考)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C.答案 C4．(2012·合肥质检)已知p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )． A ．a ＜－1或a ＞6B ．a ≤－1或a ≥6C ．－1≤a ≤6D ．－1＜a ＜6解析 解不等式可得p ：－4＋a ＜x ＜4＋a ，q ：2＜x ＜3，因此綈p ：x ≤－4＋a 或x ≥4＋a ，綈q ：x ≤2或x ≥3，于是由綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知2≥－4＋a 且4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6.答案 C5．若函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，则下列结论正确的是 ( )．A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 解析 对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则f (x )为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·西安模拟)若命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 因为“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案 －22≤a ≤2 27．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若綈q 且p 为真，则x 的取值范围是________． 解析 因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以 q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3， 所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3.故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)8．(2012·南京五校联考)令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题．∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1. 答案 a ＞1三、解答题(共23分)9．(11分)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1，所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0，只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2，所以命题q ：a ≥1或a ≤－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2 ∴实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2.10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根；(2)r ：有些质数是奇数；(3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|＞0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题．(2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1．下列命题错误的是 ( )．A ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m＝0无实数根，则m ≤0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0解析 依次判断各选项，易知只有C 是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案 C2．(★)(2011·广东广雅中学模拟)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0.q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )． A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1] 解析 (直接法)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假，得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.答案 A 【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题(每小题4分，共8分)3．命题“∃x 0∈R ，x 0≤1或x 20＞4”的否定是______________．解析 已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．答案 ∀x ∈R ，x ＞1且x 2≤44．(2012·太原十校联考)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋ 152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立． 设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方． 故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞.答案 ⎝⎛⎭⎫56，＋∞三、解答题(共22分)5．已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2. 又∵对∀x ∈R ，当s (x )为真命题时，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2.综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.6．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．解 由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12. 当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0＜c ≤12或c ≥1.。