一、多选题1.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论,正确的是( ) A .cos cos 0A B +>B .若a b >,则cos2cos2A B <C .24sin sin sin S R A B C =,其中R 为ABC 外接圆的半径D .若ABC 为非直角三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=2.已知ABC 的面积为3,在ABC 所在的平面内有两点P ,Q ,满足20PA PC +=,2QA QB =,记APQ 的面积为S ,则下列说法正确的是( )A .//PB CQ B .2133BP BA BC =+ C .0PA PC ⋅<D .2S =3.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A .6πB .3π C .56π D .23π 4.已知点()4,6A ,33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33⎛⎫⎪⎝⎭B .97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D .(7,9)5.在△ABC 中,点E ,F 分别是边BC 和AC 上的中点,P 是AE 与BF 的交点,则有( )A .1122AE AB AC →→→=+B .2AB EF →→=C .1133CP CA CB →→→=+D .2233CP CA CB →→→=+6.在ABC 中,AB =1AC =,6B π=,则角A 的可能取值为( )A .6πB .3π C .23π D .2π 7.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A .在ABC 中,a :b :c =sin A :sin B :sin C B .在ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =bC .在ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立D .在ABC 中,sin sin sin +=+a b cA B C8.下列关于平面向量的说法中正确的是( )A .已知A 、B 、C 是平面中三点,若,AB AC 不能构成该平面的基底,则A 、B 、C 共线 B .若a b b c ⋅=⋅且0b ≠,则a c =C .若点G 为ΔABC 的重心,则0GA GB GC ++=D .已知()12a =-,,()2,b λ=,若a ,b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为1λ< 9.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列结论中正确的是( )A .若a b >,则sin sin AB >B .若sin 2sin 2A B =,则ABC 是等腰三角形 C .若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D .若2220a b c +->,则ABC 是锐角三角形 10.下列各组向量中,不能作为基底的是( ) A .()10,0e =,()21,1=e B .()11,2e =,()22,1e =-C .()13,4e =-,234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D .()12,6=e ,()21,3=--e11.下列命题中,正确的是( ) A .在ABC ∆中,A B >,sin sin A B ∴> B .在锐角ABC ∆中,不等式sin cos A B >恒成立C .在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC ∆必是等腰直角三角形D .在ABC ∆中,若060B =,2b ac =,则ABC ∆必是等边三角形 12.给出下面四个命题,其中是真命题的是( ) A .0ABBA B .AB BC AC C .AB AC BC += D .00AB +=13.如图所示,梯形ABCD 为等腰梯形,则下列关系正确的是( )A .AB DC =B .AB DC =C .AB DC >D .BC AD ∥14.某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C 处,3km ,那么x 的值为( ) A 3B .3C .33D .315.题目文件丢失!二、平面向量及其应用选择题16.如图,ADC 是等边三角形,ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠︒=,BD 与AC 交于E 点.若2AB =,则AE 的长为( )A .62-B .1(62)2- C .62+ D .1(62)2+ 17.若向量123,,OP OP OP ,满足条件1230OP OP OP ++=,1231OP OP OP ===,则123PP P ∆的形状是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .不能确定18.如图,测量河对岸的塔高AB 时,选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒,45BDC ∠=︒,302CD m =,并在点C 测得塔顶A 的仰角为30,则塔高AB 为( )A .302mB .203mC .60mD .20m19.在ABC ∆中,D 为BC 中点,且12AE ED =,若BE AB AC λμ=+,则λμ+=( ) A .1B .23-C .13- D .34-20.ABC ∆内有一点O ,满足3450OA OB OC ++=,则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为( ) A .1:4B .4:5C .2:3D .3:521.在ABC ∆中,设222AC AB AM BC -=⋅,则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的( ) A .垂心 B .内心C .重心D . 外心22.在ABC 中,若A B >,则下列结论错误的是( )A .sin sin AB >B .cos cos A B <C .sin2sin2A B >D .cos2cos2A B <23.在ABC 中,AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线,它们交于点G ,则下列各等式中不正确...的是( )A.23BG BE=B.2CG GF=C.12DG AG=D.0GA GB GC++=24.在ABC∆中,E,F分别为AB,AC的中点,P为EF上的任一点,实数x,y满足0PA xPB yPC++=,设ABC∆、PBC∆、PCA∆、PAB∆的面积分别为S、1S、2S、3S,记iiSSλ=(1,2,3i=),则23λλ⋅取到最大值时,2x y+的值为()A.-1 B.1 C.32-D.3225.已知20a b=≠,且关于x 的方程20x a x a b++⋅=有实根,则a与b的夹角的取值范围是( )A.06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦26.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进50m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ等于()A.32B.22C.312D.212-27.在ABC中,CB a=,CA b=,且sin sina bOP OC ma Bb A⎛⎫⎪=++⎪⎝⎭,m R∈,则点P的轨迹一定通过ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心28.已知向量(22cos3m x=,()1,sin2n x=,设函数()f x m n=⋅,则下列关于函数()y f x=的性质的描述正确的是()A.关于直线12xπ=对称B.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.周期为2πD.()y f x=在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数29.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5a=2c=,2cos3A=,则b=A .2B .3C .2D .330.已知,m n 是两个非零向量,且1m =,2||3m n +=,则||+||m n n +的最大值为 A .5B .10C .4D .531.在ABC ∆中,2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===,M 为线段EF 的中点,若1AM =,则λμ+的最大值为( ) A .73B .273C .2D .21 32.已知ABC 中,1,3,30a b A ︒===,则B 等于( )A .60°B .120°C .30°或150°D .60°或120°33.如图,在直角梯形ABCD 中,22AB AD DC ==,E 为BC 边上一点,BC 3EC =,F 为AE 的中点,则BF =( )A .2133AB AD - B .1233AB AD - C .2133AB AD -+ D .1233AB AD -+ 34.在ABC 中,若sin 2sin cos B A C =,那么ABC 一定是( ) A .等腰直角三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形D .等边三角形35.在△ABC 中,AB =a ,BC =b ,且a b ⋅>0,则△ABC 是( ) A .锐角三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、多选题 1.ABD 【分析】对于A ,利用及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由,可得,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【解析:ABD 【分析】对于A ,利用A B π+<及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由a b >,可得sin sin A B >,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用in 12s S ab C =和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【详解】对于A ,∵A B π+<,∴0A B ππ<<-<,根据余弦函数单调性,可得()cos cos cos A B B π>-=-,∴cos cos 0A B +>,故A 正确;对于B ,若sin sin a b A B >⇔>,则22sin sin A B >,则2212sin 12sin A B -<-,即cos2cos2A B <,故B 正确;对于C ,211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=,故C 错误;对于D ,在ABC 为非直角三角形,()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角函数基本性质.考查了推理和归纳的能力.2.BCD 【分析】本题先确定B 是的中点,P 是的一个三等分点,判断选项A 错误,选项C 正确;再通过向量的线性运算判断选项B 正确;最后求出,故选项D 正确. 【详解】 解:因为,,所以B 是的中点,P 是的解析:BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点,P 是AC 的一个三等分点,判断选项A 错误,选项C 正确; 再通过向量的线性运算判断选项B 正确;最后求出2APQ S =△,故选项D 正确. 【详解】解:因为20PA PC +=,2QA QB =,所以B 是AQ 的中点,P 是AC 的一个三等分点,如图:故选项A 错误,选项C 正确;因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+,故选项B 正确; 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△,所以,2APQ S =△,故选项D 正确. 故选:BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式,是基础题.3.BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析:BD 【分析】 由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以3sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得sin sin a cA C=,∴ sin sin 2c C A a ==,而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.4.ABC 【分析】先求出向量的坐标,然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点,,则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析:ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标,然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ,33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则972,AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选:ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标,根据向量的坐标判断向量是否平行,属于基础题.5.AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图:根据三角形中线性质和平行四边形法则知, , A 是正确的;因为EF 是中位线,所以B 是正确的; 根据三角形重心解析:AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图:根据三角形中线性质和平行四边形法则知,111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的;因为EF 是中位线,所以B 是正确的; 根据三角形重心性质知,CP =2PG ,所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 是正确的,D 错误. 故选:AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用,熟记一些基本结论是求解问题的关键,属于中档题.6.AD 【分析】由余弦定理得,解得或,分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理,得, 即,解得或.当时,此时为等腰三角形,,所以;当时,,此时为直角三角形,所以. 故选:AD 【点睛】 本题考查余弦解析:AD 【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅,解得1BC =或2BC =,分别讨论即可. 【详解】由余弦定理,得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅,即2132BC BC =+-,解得1BC =或2BC =. 当1BC =时,此时ABC 为等腰三角形,BC AC =,所以6A B π==;当2BC =时,222AB AC BC +=,此时ABC 为直角三角形,所以A =2π. 故选:AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形,考查学生分类讨论思想,数学运算能力,是一道容易题.7.ACD 【分析】对于A ,由正弦定理得a :b :c =sinA :sinB :sinC ,故该选项正确; 对于B ,由题得A =B 或2A+2B =π,即得a =b 或a2+b2=c2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中解析:ACD 【分析】对于A ,由正弦定理得a :b :c =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确; 对于B ,由题得A =B 或2A +2B =π,即得a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确; 对于D ,由正弦定理可得右边=2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+=左边,故该选项正确.【详解】对于A ,由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===,可得a :b :c =2R sin A :2R sin B :2R sin C =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确;对于B ,由sin2A =sin2B ,可得A =B 或2A +2B =π,即A =B 或A +B =2π,∴a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误;对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ,因此A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确;对于D ,由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===,可得右边=2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C R B C B C++==++=左边,故该选项正确. 故选:ACD.【点睛】 本题主要考查正弦定理及其变形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ;由数量积的性质可判断;由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断,由数量积及平面向量共线定理判断D .【详解】解:因为不能构成该平面的基底,所以,又有公共解析:AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ;由数量积的性质可判断B ;由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ,由数量积及平面向量共线定理判断D .【详解】解:因为,AB AC 不能构成该平面的基底,所以//AB AC ,又,AB AC 有公共点A ,所以A 、B 、C 共线,即A 正确;由平面向量的数量积可知,若a b b c =,则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>,所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>,无法得到a c =,即B 不正确;设线段AB 的中点为M ,若点G 为ABC ∆的重心,则2GA GB GM +=,而2GC GM =-,所以0GA GB GC ++=,即C 正确;()12a =-,,()2,b λ=,若a ,b 的夹角为锐角,则220a b λ=⋅->解得1λ<,且a 与b 不能共线,即4λ≠-,所以()(),44,1λ∈-∞--,故D 错误;故选:AC .【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算,属于中档题. 9.AC【分析】对选项A ,利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确;对选项B ,首先利用正弦二倍角公式得到,从而得到是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对选项C ,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析:AC【分析】对选项A ,利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确;对选项B ,首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =,从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对选项C ,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确;对D ,首先根据余弦定理得到A 为锐角,但B ,C 无法判断,故D 错误.【详解】对选项A ,2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>,故A 正确;对选项B ,因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=,则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误;对选项C ,因为cos cos a B b A c -=,所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+,sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+,sin cos cos sin B A A B -=,因为sin 0B ≠,所以cos 0A =,2A π=,ABC 是直角三角形,故③正确; 对D ,因为2220a b c +->,所以222cos 02a b c A ab +-=>,A 为锐角. 但B ,C 无法判断,所以无法判断ABC 是锐角三角形,故D 错误.故选:AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查学三角函数恒等变换,属于中档题.10.ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ,C ,D 中向量与共线,不能作为基底;B 中,不共线,所以可作为一组基底.【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义,属解析:ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ,C ,D 中向量1e 与2e 共线,不能作为基底;B 中1e ,2e 不共线,所以可作为一组基底.【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义,属于基础题.【分析】对于选项在中,由正弦定理可得,即可判断出正误;对于选项在锐角中,由,可得,即可判断出正误;对于选项在中,由,利用正弦定理可得:,得到或即可判断出正误;对于选项在中,利用余弦定理可得解析:ABD【分析】对于选项A 在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>,即可判断出正误;对于选项B 在锐角ABC ∆中,由022A B ππ>>->,可得sin sin()cos 2A B B π>-=,即可判断出正误;对于选项C 在ABC ∆中,由cos cos a A b B =,利用正弦定理可得:sin 2sin 2A B =,得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误;对于选项D 在ABC ∆中,利用余弦定理可得:2222cos b a c ac B =+-,代入已知可得a c =,又60B =︒,即可得到ABC ∆的形状,即可判断出正误.【详解】对于A ,由A B >,可得:a b >,利用正弦定理可得:sin sin A B >,正确; 对于B ,在锐角ABC ∆中,A ,(0,)2B π∈,2A B π+>,∴022A B ππ>>->,sin sin()cos 2A B B π∴>-=,因此不等式sin cos A B >恒成立,正确; 对于C ,在ABC ∆中,由cos cos a A b B =,利用正弦定理可得:sin cos sin cos A A B B =,sin 2sin 2A B ∴=, A ,(0,)B π∈,22A B ∴=或222A B π=-,A B ∴=或2A B π+=, ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形,因此是假命题,C 错误.对于D ,由于060B =,2b ac =,由余弦定理可得:222b ac a c ac ==+-,可得2()0a c -=,解得a c =,可得60A C B ===︒,故正确.故选:ABD .【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系,主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用,同时考查正弦定理进行边角转化,属于中等题.【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为,正确;,由向量加法知正确;,不满足加法运算法则,错误;,所以错误.故选:A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析:AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为0AB BA AB AB,正确;AB BC AC,由向量加法知正确;+=,不满足加法运算法则,错误;AB AC BC+=,所以00AB AB0,+=错误.AB故选:A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的运算,属于容易题.13.BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可;【详解】解:与显然方向不相同,故不是相等向量,故错误;与表示等腰梯形两腰的长度,所以,故正确;向量无法比较大小,只能比较向量模的大小,故解析:BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可;【详解】解:AB与DC显然方向不相同,故不是相等向量,故A错误;AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度,所以AB DC =,故B 正确;向量无法比较大小,只能比较向量模的大小,故C 错误;等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行,所以//BC AD ,故D 正确;故选:BD .【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解,属于基础题.14.AB【分析】由余弦定理得,化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选:AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析:AB【分析】由余弦定理得293cos306x x︒+-=,化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒+-=,解得x =x故选:AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.无二、平面向量及其应用选择题16.A【分析】由条件求得∠BCD =150°,∠CBE =15°,故∠ABE =30°,可得∠AEB =105°.计算sin105°,代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒,化简求得AE =-. 【详解】由题意可得,AC =BC =CD =DA =BAC =45°,∠BCD =∠ACB +∠ACD =90°+60°=150°.又△BCD 为等腰三角形,∴∠CBE =15°,故∠ABE =45°﹣15°=30°,故∠BEC =75°,∠AEB =105°.再由 sin105°=sin (60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°4=, △ABE 中,由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒,∴12AE =,∴AE =), 故选:A .【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用,两角和的正弦公式,属于中档题.17.C【分析】根据三角形外心、重心的概念,以及外心、重心的向量表示,可得结果.【详解】由123||||||1OP OP OP ===,可知点O 是123PP P ∆的外心, 又1230OP OP OP ++=,可知点O 是123PP P ∆的重心, 所以点O 既是123PP P ∆的外心,又是123PP P ∆的重心,故可判断该三角形为等边三角形,故选:C【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示,掌握三角形的四心:重心,外心,内心,垂心,以及熟悉它们的向量表示,对解题有事半功倍的作用,属基础题.18.D【分析】由正弦定理确定BC 的长,再tan30AB BC 求出AB .【详解】 15BCD ∠=︒,45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得:sin120sin 45BC 302sin 45203sin120BC 3tan 30203203ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用,关键是利用正弦定理求出BC ,属于基础题.19.B【分析】选取向量AB ,AC 为基底,由向量线性运算,求出BE ,即可求得结果.【详解】 13BE AE AB AD AB =-=-,1()2AD AB AC =+ , 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+, 56λ∴=-,16μ=,23λμ∴+=-. 故选:B.【点睛】 本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.20.A【解析】分析:由题意,在ABC ∆内有一点O ,满足3450++=OA OB OC ,利用三角形的奔驰定理,即可求解结论.详解:由题意,在ABC ∆内有一点O ,满足3450++=OA OB OC ,由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=,所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==, 故选A .点睛:本题考查了向量的应用,对于向量的应用问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用,利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.21.D【分析】根据已知条件可得()222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅,整理可得()0BC MC MB ⋅+=,若E 为BC 中点,可知BC ME ⊥,从而可知M 在BC 中垂线上,可得轨迹必过三角形外心.【详解】()()()222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=()()0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=设E 为BC 中点,则2MC MB ME +=20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥ME ⇒为BC 的垂直平分线M ∴轨迹必过ABC ∆的外心本题正确选项:D【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题,关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简,整理为两向量垂直的关系,从而得到结论.22.C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >,由余弦函数性质判断B ,然后结合二倍角公式判断CD .【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,由A B >,则,a b >∴sin sin 0A B >>,A 正确;由余弦函数性质知cos cos A B <,B 正确;sin 22sin cos A A A =,sin 22sin cos B B B =,当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <,C 错误,;2cos 212sin A A =-,2cos 212sin B B =-,∴cos2cos2A B <,D 正确. 故选:C .【点睛】本题考查三角形内角和定理,考查正弦定理、余弦函数性质,考查正弦、余弦的二倍角公式,考查学生的逻辑推理能力,属于中档题.23.C【分析】由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案.【详解】 ABC 中,AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线,它们交于点G ,可得G 为重心,则23BG BE =,2CG GF =,12DG GA =且0GA GB GC ++= 故选:C【点睛】本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理,属于中档题.24.D【分析】根据三角形中位线的性质,可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半,从而得到12312S S S S ==+,由此结合基本不等式求最值,得到当23λλ⋅取到最大值时,P 为EF的中点,再由平行四边形法则得出1122PA PB PC++=,根据平面向量基本定理可求得12x y==,从而可求得结果.【详解】如图所示:因为EF是△ABC的中位线,所以P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半,所以12312S S S S==+,由此可得22232322322()1216S SS S SSS S S Sλλ+=⨯=≤=,当且仅当23S S=时,即P为EF的中点时,等号成立,所以0PE PF+=,由平行四边形法则可得2PA PB PE+=,2PA PC PF+=,将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF++=+=,所以1122PA PB PC++=,又已知0PA xPB yPC++=,根据平面向量基本定理可得12x y==,从而132122x y+=+=.故选:D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,考查了平面向量基本定理的应用,考查了基本不等式求最值,属于中档题.25.B【分析】根据方程有实根得到24cos0a a bθ∆=-≥,利用向量模长关系可求得1cos2θ≤,根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥ 设a 与b 的夹角为θ,则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ 本题正确选项:B【点睛】本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围,从而根据向量夹角范围得到结果.26.C【分析】 易求30ACB ∠=︒,在ABC 中,由正弦定理可求BC ,在BCD 中,由正弦定理可求sin BDC ∠,再由90BDC θ∠=+︒可得答案.【详解】45CBD ∠=︒,30ACB ∴∠=︒,在ABC 中,由正弦定理,得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠,即50sin15sin30BC =︒︒,解得BC =-,在BCD 中,由正弦定理,得sin sin BC CD BDC CBD =∠∠50sin 45=︒,sin BDC ∴∠=sin(90)θ+︒=cos θ∴= 故选:C . 【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用,由实际问题恰当构建数学模型是解题关键. 27.A【分析】 设sin sin a B b A CH ==,则()m CP a b CH =+,再利用平行四边形法则可知,P 在中线CD 上,即可得答案;【详解】如图,sin sin a B b A CH ==,∴()m OP OC a b CH =++,()m CP a b CH =+, 由平行四边形法则可知,P 在中线CD 上,∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选:A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意向量加法几何意义的运用.28.D【详解】()22cos 3sin 2cos 23sin 212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++,当12x π=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称; 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称; f (x )得周期22T ππ==, 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈- ,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数. 本题选择D 选项.29.D【详解】由余弦定理得,解得(舍去),故选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记!30.B【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数,再利用导数求极值,研究单调性,进而得最大值.【详解】()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=,,,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+,令()(0x x f x x n =<≤=,则()'1f x =,令()'0f x =,得x =∴当0x << ()'0f x >x << ()'0f x <, ∴当x =时, ()f x 取得最大值f =⎝⎭,故选B. 【点睛】 向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 31.C 【分析】 化简得到22AM AB AC λμ=+,根据1AM =得到221λμλμ+-=,得到λμ+的最大值.【详解】 ()1222AM AE AF AB AC λμ=+=+, 故2222224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭ 故()()()222223134λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+,故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.故选:C .【点睛】本题考查了向量的运算,最值问题,意在考查学生的综合应用能力.32.D【分析】由正弦定理可得,sin 2B =,根据b a >,可得B 角的大小. 【详解】由正弦定理可得,sin sin 2b A B a ==, 又0,,π<<>∴>B b a B A ,60︒∴=B 或120B =.故选:D【点睛】本题考查了正弦定理的应用,考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于基础题目. 33.C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】 解:111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选:C .【点睛】本题考查用基底表示向量,向量的线性运算,是中档题.34.B【分析】利用两角和与差公式化简原式,可得答案.【详解】因为sin 2sin cos B A C =,所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选:B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用,考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用,考查学生计算能力,属于中档题.35.D【分析】由数量积的定义判断B 角的大小,得三角形形状.【详解】 由题意cos()0a b a b B π⋅=->,∴cos()0B π->,cos 0B ->,cos 0B <,又B 是三角形内角,∴2B ππ<<.∴ABC 是钝角三角形.故选:D .【点睛】本题考查考查三角形形状的判断,解题关键是掌握数量积的定义.向量夹角的概念.。