【知识结构】 【要点点拨】 一.平面向量 1.有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段。

2.向量既有大小又有方向的量叫做向量。

向量的大小也叫做向量的长度。

（或向量的模） 3.向量的表示（1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向。

（2）常见的表示方法①向量AB u u u r，长度记为AB u u u r ；②向量a r 、b r 、c r ，长度记为a r 、b r 、c r。

4.相等的向量方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。

5.相反的向量方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。

6.平行向量方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。

例1:判断下列语句是否正确：（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。

（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相同。

（3）向量AB u u u r 与向量BA uu u r是同一个向量。

（4）相等向量一定是平行向量。

（5）互为相反的向量不一定是平行向量。

（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。

解：（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）× （6）×例2:在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，//DE AB ，点E 在BC 上，如果把图中线段都画成有向平面向量的减法平面向量的加法平面向量的概念平面向量线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。

（1）所有与AB u u u r相等的向量。

（2）所有与AB u u u r互为相反的向量。

（3）所有与AD u u u r平行的向量。

解：（1）DE AB =u u u r u u u r ； （2）与AB u u u r 互为相反的向量：BA uu u r 、ED u u u r； （3）所有与AD u u u r 平行的向量为：DA u u u r ，BE uuu r ，EB uu u r ，EC uuur ，CE u u u r ，BC uuu r ，CB u u u r 。

二.平面向量的加法 1.向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。

2.零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0r 。

规定0r 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r。

因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-=r r r 。

对于任意向量，都有0a a +=r r r ，0a a +=r r r。

3.向量的加法满足交换律：a b b a +=+r r r r。

4.向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r。

5.向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。

6.向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。

例1 如图，已知向量a r 与b r ，求作a b +r r。

略例2 计算：（1）AB BC +u u u r u u u r AC u u u r ；OE EF +u u u r u u u r OF u u u r. （2）AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r AC u u u r。

（3）AB BC CD DE EF ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF u u u r。

三、平面向量的减法 1.向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：()a b a b -=+-r r r r。

2.向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。

3.向量加法的平行四边形法则如果a r ，b r是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与a r ，b r相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a r ，b r的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则。

4.另外一个对角线向量，即是a r ，b r的差向量，这个差向量与被减向量共终点。

例1 如图，在图中画出向量AB AC -u u u r u u u r。

略例2 计算：AB CB CD ED -+-u u u r u u u r u u u r u u u r AE u u u r。

例3 如图，多边形ABCDEF 是正六边形，设AB a =u u u r ra r 和b r 表示向量OA u u u r ，OC u u u r，OE uuu r。

解：OA b =-u u u r r ； OC a =u u u r r ； OE b a =-u u u r r r。

巩固练习 一、填空题1.已知下列各量:体积、人口数量、风速、重力、用水量、拉力，其中向量有 风速、重力、拉力 .2.已知向量a r 与向量b r 是互为相反的向量，如果a kb =r r，那么k = -1 .3.如果a r 与b r 互为相反的向量，则a b +r r 0r.4.已知平行四边形ABCD 中，向量AC u u u r ，DA u u u r ，BD u u u r 的和为 AD u u u r（或BC uuu r ） .5.如右图，梯形ABCD 中，//AB DC ，点E 在AB 上，//EC AD ，则6.在ABCD Y 中，若AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，则DB u u u rb a -r r （用a r 和b r 表示）。

7.如图，四边形OACB 是平行四边形，AB 、OC 是对角线。

如果OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，那么OC uuu r = a b +r r，AB uuu r= b a -r r 。

二、选择题1.下列句子正确的是（ A ）A.向量是描述“两个点得分相对位置差”的量COFEDCBAED C B A OCBAB.向量与“平移”没有关系C.有向线段表示同一个向量必须起点相同且“同向等长”D.两条不同的有向线段分别表示的向量一定不是相等向量2.下列关于a r 、b r 的式子：①//a b r r ；②a b =-r r ；③0a b +=r r ；④a b =r r 。

如果a r 、b r 互为相反向量，那么上面式子中正确的个数为（ C ）A.1个B.2个C.3个D.4个 3.下列命题中，假命题的是（ D ）A.若0a b -=r r r ，则a b =r rB.若a b =-r r ，则//a b r rC.若a b =r r ，则//a b r rD.若a b =r r，则a b =r r4.下列判断中，不正确的是（ B ）A.如果AB CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u r u u u rB.0AB BA +=u u u r u u u rC.a b c c b a ++=++r r r r r rD.()()a b c a b c ++=++r r r r r r5.下列命题中，假命题的是（ A ）A.零向量没有方向B.零向量和任意向量平行C.a b b a +=+r r r rD.如果(0)a k b k =⋅≠r r，那么//a b r r6.若O 是等边三角形ABC 的三边上的高的交点，则向量,,AO OB OC u u u r u u u r u u u r是（ C ）A.起点相同的量B.平行的量C.模相等的向量D.相等的向量 7.在平行四边形中，下列等式成立的是（ D ）A.0AB CD +=u u u r u u u rB.AD AB CA +=u u u r u u u r u u rC.AD AB DB -=u u u r u u u r u u u rD.0AB CD +=u u u r u u u r r8.如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 、BD 相交于O ，下列命题正确的个数是（ C ）①若AB DC =u u u r u u u r，则梯形是等腰梯形； ②若OB OC =u u u r u u u r ，则梯形是等腰梯形； ③若梯形是等腰梯形，则AB DC =u u u r u u u r ④若AB DC =u u u r u u u r ，则AC DB =u u u r u u u r。

A.1个B.2个C.3个D.4个 三、解答题1.用有向线段（比例尺1:100）表示两个点的相对位置。

（1）点A 在点B 的正南250米处。

（2）点C 在点B 的东北150米处。

（3）点D 在点B 的南偏东30o方向的3米处。

图略2.如图，等边ABC V 中，D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，图中点的边都看成有向线段，那么（1）与ED 相等的线段有 8 条。

（2）写出与向量DE u u u r相等的向量。

（3）写出与向量DE u u u r平行的向量。

E D A ODCB AODCBA解：（2）与向量DE u u u r 相等的向量为：FB uu u r ，CF uuur 。

（3）与向量DE u u u r 平行的向量为：ED u u u r ，BF u u u r ，FB uu u r ，FC uuur ，CF uuu r ，BC uuu r ，CB u u u r 。

3.某人从A 出发向西走了200米到达点B ，然后改变了方向向北偏西60o走了450米到达点C ，最后又改变方向，向东走了200米到达点D 。

（1）作出向量AB u u u r 、BC uuur 、CD uuu r （比例尺为1:10000）。

（2）求DA u u u r。

解（1）图略；（2）450DA =u u u r。

4.如图，已知a r ，b r ，c r ，求作：a c b ++r r r。

图略5.如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在边BC （1）填空：CD DE +=u u u r u u u r CE u u u r ；BC AB DA +++u u u r u u u r u u u r DE。

（2）求作：AB AD +u u u r u u u r。