【知识结构】 【要点点拨】 一.平面向量 1.有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段。

2.向量既有大小又有方向的量叫做向量。

向量的大小也叫做向量的长度。

（或向量的模） 3.向量的表示（1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向。

（2）常见的表示方法①向量AB u u u r，长度记为AB u u u r ；②向量a r 、b r 、c r ，长度记为a r 、b r 、c r。

4.相等的向量方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。

5.相反的向量方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。

6.平行向量方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。

例1:判断下列语句是否正确：（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。

（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相同。

（3）向量AB u u u r 与向量BA u u u r是同一个向量。

（4）相等向量一定是平行向量。

（5）互为相反的向量不一定是平行向量。

（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。

例2:在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，//DE AB ，点E 在BC 上，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。

平面向量的减法平面向量的加法平面向量的概念平面向量（1）所有与AB u u u r相等的向量。

（2）所有与AB u u u r互为相反的向量。

（3）所有与AD u u u r平行的向量。

二.平面向量的加法 1.向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。

2.零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0r 。

规定0r 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r。

因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-=r r r 。

对于任意向量，都有0a a +=r r r ，0a a +=r r r。

3.向量的加法满足交换律：a b b a +=+r r r r。

4.向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r。

5.向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。

6.向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。

例1 如图，已知向量a r 与b r ，求作a b +r r。

例2 计算：（1）AB BC +=u u u r u u u r ；OE EF +=u u u r u u u r. （2）AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r。

（3）AB BC CD DE EF ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r。

三、平面向量的减法 1.向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：()a b a b -=+-r r r r。

2.向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。

3.向量加法的平行四边形法则如果a r ，b r是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与a r ，b r相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a r ，b r的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则。

4.另外一个对角线向量，即是a r ，b r的差向量，这个差向量与被减向量共终点。

例1 如图，在图中画出向量AB AC -u u u r u u u r。

例2 计算：AB-u u u r例3 如图，a =r ，BC b =u u u r r 。

试用向量a r 和b r 表示向量OA u u u r ，OC u u u r，OE uuu r。

巩固练习 一、填空题1.已知下列各量:2.已知向量a r 与向量b r 是互为相反的向量，如果a kb =r r，那么k = .3.如果a r 与b r 互为相反的向量，则a b +=r r.4.已知平行四边形ABCD 中，向量AC u u u r ，DA u u u r ，BD u u u r的和为 . 5.如右图，梯形ABCD 中，//AB DC ，点E 在AB 上，//EC AD ，则6.在ABCD Y 中，若AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，则DB =u u u r（用a r 和b r 表示）。

7.如图，四边形OACB 是平行四边形，AB 、OC 是对角线。

如果OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，那么OC uuu r= ，AB uuu r= 。

二、选择题1.下列句子正确的是（ ）A.向量是描述“两个点得分相对位置差”的量B.向量与“平移”没有关系C.有向线段表示同一个向量必须起点相同且“同向等长”D.两条不同的有向线段分别表示的向量一定不是相等向量2.下列关于a r 、b r 的式子：①//a b r r ；②a b =-r r ；③0a b +=r r ；④a b =r r。

如果a r 、b r 互为相反向量，那么上面式子中正确的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 3.下列命题中，假命题的是（ ）A.若0a b -=r r r ，则a b =r rB.若a b =-r r ，则//a b r rED CBA OCB AC.若a b =r r ，则//a b r rD.若a b =r r，则a b =r r 4.下列判断中，不正确的是（ ）A.如果AB CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u r u u u rB.0AB BA +=u u u r u u u rC.a b c c b a ++=++r r r r r rD.()()a b c a b c ++=++r r r r r r5.下列命题中，假命题的是（ ）A.零向量没有方向B.零向量和任意向量平行C.a b b a +=+r r r rD.如果(0)a k b k =⋅≠r r，那么//a b r r6.若O 是等边三角形ABC 的三边上的高的交点，则向量,,AO OB OC u u u r u u u r u u u r是（ ）A.起点相同的量B.平行的量C.模相等的向量D.相等的向量 7.在平行四边形中，下列等式成立的是（ ）A.0AB CD +=u u u r u u u rB.AD AB CA +=u u u r u u u r u u rC.AD AB DB -=u u u r u u u r u u u rD.0AB CD +=u u u r u u u r r8.如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 、BD 相交于O ，下列命题正确的个数是（ ）①若AB DC =u u u r u u u r ，则梯形是等腰梯形； ②若OB OC =u u u r u u u r，则梯形是等腰梯形； ③若梯形是等腰梯形，则AB DC =u u u r u u u r ④若AB DC =u u u r u u u r ，则AC DB =u u u r u u u r。

A.1个B.2个C.3个D.4个 三、解答题1.用有向线段（比例尺1:100）表示两个点的相对位置。

（1）点A 在点B 的正南250米处。

（2）点C 在点B 的东北150米处。

（3）点D 在点B 的南偏东30o方向的3米处。

2.如图，等边ABC V 中，D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，图中点的边都看成有向线段，那么（1）与ED 相等的线段有 条。

（2）写出与向量DE u u u r相等的向量。

（3）写出与向量DE u u u r平行的向量。

3.某人从A 出发向西走了200米到达点B ，然后改变了方向向北偏西60o走了450米到达点C ，最后又改变方向，向东走了200米到达点D 。

（1）作出向量AB u u u r 、BC uuur 、CD uuu r （比例尺为1:10000）。

（2）求DA u u u r。

4.如图，已知a r ，b r ，c r ，求作：a c b ++r r r。

5.如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在边BC 上，联结DE ，AC 。

（1）填空：CD DE +=u u u r u u u r ；BC AB DA CE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r。

（2）求作：AB AD +u u u r u u u r。

FED CBA DA ODCB AODCBA6.已知a r ，b r ，用平行四边形法则求（1）a b +r r 。

（2）a b -r r 。

7.如图，点E 在ABCD Y 的对角线BD 上。

（1）填空：BC BA +=u u u r u u u r ； BC AE -=u u u r u u u r。

（2）求作：BC AE +u u u r u u u r。

8.如图，点B 、D 在平行四边形AECF 的对角线EF 上，且EB DF =，设EC a =u u u r r ，EA b =u u u r r ,AD c =u u u r r。

（1）填空：a b -=r r ； b c +=r r。

（2）求作：a c +r r。

家庭作业 一.填空题1.在四边形ABCD 中，如果AB DC =u u u r u u u r ，那么与CB u u u r相等的向量是 . 2.用向量的形式添加一个条件 ，使四边形ABCD 是平行四边形.3.计算：AB BC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r. 4.8a =r ，方向向西，5b =r ，方向向东，则a b +=r r.5.计算：（1）OA CA OC --=u u u r u u r u u u r . （2）AO AD OC -+=u u u r u u u r u u u r.（3）AB DE CD BE --+=u u u r u u u r u u u r u u u r . （4）AC BA CK BK ++-=u u u r u u u r u u u r u u u r.6.已知ABCD Y 中，若AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么用a r 和b r 表示向量CA u u r= .7.已知：矩形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O 。