第4课时 圆
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1．定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(或轨迹)是圆.
2．标准方程 设圆心C(a,b)，半径为r，则标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.当圆心在原点时，圆的 方程为x2+y2=r2.
y
b
rsinθ
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课前热身
1.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的
外接圆方程是(
)
(A)(x-4)2+(y-2)2=1
(B)x2+(y-2)2=4
D
(C)(x+2)2+(y+1)2=1
(D)(x-2)2+(y-1)2=5
2.若点A、B分别在圆x2+y2=a，x2+y2=b(a≠b)上，则
OA·OB(O为原点)的取值范围是____________ -
ab，ab
3.若过点(4，2)总可以作两条直线与圆(x-3m)2+(y-4m)2=5(m+4)相切，则m
的范围是(
)
D
(A) (C)
m
19 12
(B) (D)
m
0或
m
9 5
- 4 m 19
-
4
m
12 0或 m
9 5
4.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围
【解题回顾】(1)本题可以理解成在约束条件下，求 目标函数z=x+y的最值.因此可以按线性规划思想求 解.先作出可行域是一个圆，再平行移动直线x+y=0, 相切时的两切线中的较小截距即为所求.
(2)通过数形结合，本题也可求如x2+y２、 y 形式
的
x4
最值.
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延伸·拓展
4. 已知 x2+y2=z2，x,y,z,a,b∈R+. 求证：
3.一般方程 当D2+E2-4F＞0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.
4．二元二次方程表示圆的充要条件 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程
A=C≠0
B=0 D2+E2-4AF＞0
5．圆的参数方程 设圆心C(a,b)，半径为r,则参数方程为
( 为参数)
θ
x a rcosθ
是()ຫໍສະໝຸດ C(A) (C)-1 t 1 7
(B) (D)
-1 t 1
7
-1 t 1 2
1t 2
5. k∈R，直线(k+1)x-ky-1=0被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长是(
)
(A)8
(B)C2
(C)4
(D)值与k有关
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能力·思维·方法
1. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截下的弦长为2√7的 圆的方程.
2.已知圆同时满足： (1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1； (3)圆心到直线x-2y=0的距离为55，求圆的方程.
若本题改为满足(1)(2)所有圆中，求圆心到x-2y=0的距 离最小的圆的方程，又如何求解?
3. 已知实数x,y满足x2+y2+2x-2√3y=0，求x+y的最小值.
【解题回顾】求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直 线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即 用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是： ①根据题意选择方程的形式，标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a、 b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一 般式方程.
ax by z a2 b2
【解题回顾】本题也可用分析法求证，即要证原不等式成立，即证 (ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2).
5.在△ABC中，已知
cosB a ，3P是，内b切 10
圆上一点，求PA2+PB2+PC2的c最o大sA值与最b小值.4
【 解 题 回 顾 】① 对 于 圆 上 的 动 点 ， 常 常 利 用 圆 的 参 数 方 程 ， 设 其 坐 标 为 (a+rcosθ，b+rsinθ)；②在求某一变量的最值时，常构造一个目标函数加以 解决，如本题中，PA2+PB2+PC2=80-8sinθ,θ=∠EOP∈[0,，2π].
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