1
a0 = 0 ， an =
π 2 x2 (−1) n −1 − nxdx = = cos ， ∀n ≥ 1 。 π ∫−π n2 12 4 1
π
∞
由于 f ( x) 在 (−π , π ) 上连续可微,故由 Dirichlet 收敛定理可知等式成立。证毕。 5．设 f ( x) = x 2 ， ∀x ∈ [0, 1] ，且记 S ( x) 函数 f ( x) 在 [0, 1] 上的正弦级数 的和函数。求 S (− 1 ) 的值. 2 解: 由于正弦级数
x cos(nx)dx = π∫
0
1
cos nπ − 1 ， ∀n ≥ 1 。 πn 2
π∫
1
π
0
x sin(nx)dx =
− cos nπ ， ∀n ≥ 1 。 n
于是所求 Fourier 级数为
f ( x) ~
π
4
+∑
− 2 cos(2n − 1) x +∞ (−1) n +1 sin nx +∑ 。 π (2n − 1) 2 n n =1 n =1
∀x ∈ (0, π ) 按下列要求展开成 Fourier 级数， 6． 将函数 f ( x) = x 2 ， 并求出和函数在 [0, π ]
上的值。(1) 按余弦 Fourier 展开; (2) 按正弦 Fourier 展开. 解: (1)对 f ( x) 偶延拓,故系数 b n = 0 ， ∀n ≥ 1 。简单计算得
∞
解答完毕。 2．设 f ( x) =
ax, x ∈ [−π , 0] ，求 f ( x) Fourier 级数。 bx, x ∈ [0, π ]
解：经过计算得 f ( x) 的 Fourier 级数为
f ( x) ~
+∞ ∞ (b − a )π (−1) n sin nx + (b − a )∑ cos(2n − 1) x + (a + b)∑ 。 n 4 n =1 n =1
a0 =
π∫
2
π
0
2 2 π 4 x 2 dx = π 2 , an = ∫ x 2 cos nxdx = (−1) n 2 ， ∀n ≥ 1 。 3 n π 0
2
于是所求的余弦 Fourier 级数为 x ~
π2
3
+ 4∑
(−1) n cos nx 。根据 Dirichlet 收敛定理可 2 n =1 n
2
的 Fourier 系数。定义 f h ( x) :=
x
1 f (t )dt ， h > 0 。计算函数 f h ( x) 的 Fourier 系数。 2h x∫ −h
x+h
解：令 F ( x) :=
∫ f (t )dt 。根据 Fourier 级数逐项积分定理可知
0
a0 x ∞ 1 + ∑ ( n an sin nx + 1 F ( x) = n (1 − cos nx ) ) 。 2 n =1
解答完毕。 3．设 f ( x) =
0, x ∈ [−π , 0] ，求 f ( x) 的 Fourier 级数。 sin x, x ∈ [0, π ]
解：经过计算得到 f ( x) Fourier 级数为
f ( x) ~
1
π
+
sin x 2 +∞ (−1) n cos 2nx − ∑ 。 π n =1 4n 2 − 1 2
参考解答 0, x ∈ [−π , 0] ，求 f ( x) 的 Fourier 级数。 x, x ∈ [0, π ]
1．设 f ( x) =
解： a0 =
f ( x)dx = ∫ xdx = ， 2 π ∫π π
− 0
1
π
1
π
π
π
an =
bn =
π ∫π
−
1
π
f ( x) cos(nx)dx =
2π 4 + 3 (−1) n − 1 。 n nπ
[
]
所求的正弦级数为 x 2 ~ 理可知和函数
∑
n =1
∞
(−1) n −1
8 ∞ sin( 2n − 1) x 2π 。 根据 Dirichlet 收敛定 sin nx − ∑ n π n =1 (2n − 1)3
S ( x) := ∑ (−1) n −1
∑ b sin nπx
n =1 n
∑ b sin nπx 是对 f ( x) 作奇延拓后的 Fourier 级数.根据 Dirichlet 收
n =1 n
∞
，因为 f ( x) 在点 x = 1 处连续。解答完毕。 敛定理知 S (− 1 ) = f (− 1 ) = − f (1 )=−1 2 2 2 4 2
另一方面， f h ( x) =
1 ( F ( x + h) − F ( x − h)) 。 2h
1 1 a ( x + h) +∞ an sin n( x + h) bn (1 − cos n( x + h)) ( F ( x + h) − F ( x − h)) = 0 +∑ + n n 2h 2h 2 n =1 − 1 a0 ( x − h) +∞ an sin n( x − h) bn (1 − cos n( x − h)) +∑ + n n 2h 2 n =1
n =1
∞
2π 8 ∞ sin( 2n − 1) x x 2 sin nx − ∑ = n π n =1 (2n − 1)3 0
x ∈ [0, π ) x =π
的值为 S ( x) = x 2 ， ∀x ∈ [0, π ) ， S (π ) = 0 。解答完毕。
7． 设函数 f ( x) 是周期为 2π 的周期函数，在 [−π , π ] 上分段连续。记 a0 ， an ， bn 是 f ( x)
∞
(−1) n + 4∑ 2 cos nx 在区间 [0, π ] 上的值为 S ( x) = x 2 ， ∀x ∈ [0, π ] 。 知和函数 S ( x) := 3 n =1 n
∞
π2
(2) 对 f ( x) 奇延拓,故系数 a n = 0 ， ∀n ≥ 0 。简单计算得
bn =
π∫2π0来自x 2 sin nxdx = (−1) n −1
解答完毕。 4.证明等式
∑
n =1
∞
π 2 x2 (−1) n −1 nx = − cos ， ∀x ∈ (−π , π ) 。 12 4 n2
π
12 − x2 在 [−π , π ] 上 Fourier 级数。由于 f ( x) 是偶函数。 因此系数 4
证明:考虑函数 f ( x) =
b n = 0 ， ∀n ≥ 1 。经过积分计算得