t z 1
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k

n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节

差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) piT s p1 z e
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为:
1 d q 1 z R lim q 1 (s p1 ) q F (s) (q 1)! s p1 ds z e piT
n 0
可得：F (z) = f(0) ×1 + f (T) Z-1 + f(2T) Z-2 + f (nT) Z-n
例 8-1
见教材339页 例题8－4－1.
at
例 8-2 求 e

的 F(Z)
见教材339页例题8－4－2
解：F z e akT z k e0 z 0 e aT z 1 e 2 aT z 2
1
4.2.3
留数计算法
设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点 已知,则可用留数计算法求Z变换.
z n F ( z ) Z [ f (t )] res F ( pi ) Ri piT z e i 1 i 1
* n
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为:
• 类似的依次迭代可得：
y (3) 3 y(2) 2 y(1) f (3) 10 y (4) 3 y (3) 2 y(2) f (4) 10
迭代法的 特点
1. 思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程 的数值解。
2. 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。
•
k 0

1 1 e aT z 1
z z e aT
2. 部分分式法
当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。
a s(s a)
例8-3 求解
F ( s)
的 Z 变换 。
见教材339页例题8－4－3
A B 1 1 解：因为 F s s sa s sa 而 L1F s 1(t ) e at z z z (1 e aT ) 所以 F ( z ) aT z 1 z e ( z 1)( z e aT )
3、初值定理
F ( z ) 存在，则 设函数f(t)的Z变换为F（z），并且 lim z
f (0) lim f ( z )
z
4、终值定理 设函数f(t)的 Z变换为F（z），并且（1-z-1）F(z) 在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有
f () lim( z 1) F ( z )
* n 0



n
Z e
sT s
1 s ln z T
• 引入变量：
ze
Ts
sT s
或者写成： s 1 ln z
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子， 记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z)
F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。
Tz 2 ( z 1)
例 8 —7
f (t ) t
2
T 2 z ( z 1) F ( z) ( z 1)3
•
下表列出了一些常见函数及其相应的 Laplace 变换 和 Z 变换，利用此表可以 根据给定的函数或其 Laplace 变换直接查 出其对应的 Z变换，不必进行繁琐的计算， 这也是实际中广泛应用的方法。
Z 变换的实质
1. 将差分方程转为代数方程，简化求解过程。
2. 复变量 s 与 z 之间的关系，反映了连续函 数在 s 域和离散函数在 z 域的对应关系。
4.2

Z 变换的方法
级数求和法
部分分式法
留数计算法
1. 级数求和法
• 将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯 变换， • F *(t) = f (nt) (t nT )
例8-4 求 F ( z) Z[sint ]
s s 1 1 2j 2 2 2j 2j 2j 解： L[sin t ] 2 2 2 2 s s s j s j 因为 所以 1 j ( t ) L e s j 1 1 1 1 F ( z) z 2 2 jT 1 jT 1 s 2 j 1 e z 2 j 1 e z z 1 sin T z 1 sin T jT 1 jT 1 2 1 e z e z z 1 2 z 1 cos T z 2
例8—6 求
解:
f (t ) t 的Z变换
两阶重极点!!
1 F (s) 2 s
d z d z 2 1 R lim (s 0) 2 lim sT sT s 0 ds s 0 s z e ds z e
Tz F ( z) ( z 1) 2
上式可以改写为 c[(k 1)] （T 1)c(k ) Tr (k )
k 0
k 1
c(1) (1 T )c(0) Tr (0)
c(2) (1 T )c(1) Tr (1) (1 T ) 2 c(0) (1 T )Tr (0) Tr (0) k 1
n 0
f (t ) c0 (t ) c1 (t T ) c2 (t 2T ) cn (t nT)
也即：
f (nT) cn
10z 例8—8 求 F ( z ) 的Z反变换 ( z 1)(z 2)
解：
10z 10z 1 F ( z) 2 z 3z 2 1 3z 1 2 z 2
te
at
sin t cos t
s
2
2
s 2
zTe aT ( z e aT ) 2
z sin T z 2 z sin T 1 z 2 z cosT z 2 2 z cosT 1
2
s2
4.3
Z 变换的基本定理（p342）
1、线性定理 2、滞后定理 3、初值定理 4、终值定理 5、超前定理 6、复数偏移定理
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k ) b0 r (k m) b1r (k m 1) bm r (k )
n—系统的阶次
k—系统的第k个采样周期
线性定常系统差分 方程的一般形式
差分方程的物理意义
• 1.差分方程给出了沿时间顺序输出量的若 干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值 的关系。 • 2.通常，若系统的连续部分是一个 n 阶的 线性环节，则构成离散系统时，其相应的 差分方程也是 n 阶的线性差分方程。 • 3. 一个n 阶差分方程中，一般包括有n 个 过去采样瞬时的输出值。
i 0
c( k ) (1 T ) k c(0) T (1 T ) k 1i r (i )
迭代法求解示例
• 例题：若描述某离散系统的差分方程为： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k ) 已知初始条件:
y(0) 0, y(1) 2, 激励f（k） 2 (k ),
例8-4-5
解:
求 cos t ຫໍສະໝຸດ Z变换s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT
1、线性定理 设： f (t ) ai f i (t ) a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) an f n (t ) 则： F ( z ) ai Fi ( z ) a1F1 ( z ) a2 F2 ( z ) an Fn ( z )