y ( n) = 0.5 +0.45×( 0.9)
n
( n ≥ 0)
第
例8-7-2
已知系统框图 列出系统的差分方程。 列出系统的差分方程。
n
6 页
x(n)
1 E
+ + +
−3
1 E 1 E
y(n)
(− 2) n ≥ 0 x(n) = , y(0) = y(1) = 0, 0 n<0
求系统的响应 y(n)。 。 解： （1） 列差分方程，从加法器入手 ） 列差分方程，
第
一．应用z变换求解差分方程步骤
一．步骤
(1)对差分方程进行单边 变换（移位性质）； 对差分方程进行单边 变换（移位性质） 对差分方程进行单边z变换 (2)由z变换方程求出响应 由 变换方程求出响应 变换方程求出响应Y(z) ； (3) 求Y(z) 的反变换，得到 的反变换，得到y(n) 。
3 页
0.9y ( −1) z 0.05z2 Y ( z) = + ( z −1)( z − 0.9) z − 0.9
z −1
Y ( z) A A2 1 = + z z −1 z − 0.9
第 5 页
Y ( z) A A2 1 = + z z −1 z − 0.9
A = 0.5 1
A2 = 0.45
z z Y ( z) = 0.5 + 0.45 z −1 z − 0.9
§8.7 用z变换解差分方程
第
序言
2 页
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法 时域方法 •z变换方法 变换方法 •差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； 可以将时域卷积→ 可以将时域卷积 频域（ 域 乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 部分分式分解后将求解过程变为查表 •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的 求解过程自动包含了初始状态（ 求解过程自动包含了初始状态 相当于0 条件）。 条件）。
8 页
[
]
即
Yzi (z) ↔ yzi (n) = −3(− 2) + 2(− 1)
n
n
n≥ 0
第
c. 全响应
y ( n) + 3y ( n −1) + 2y ( n − 2) = x( n) + x( n −1)
n
9 页
x ( n) = ( −2) u(n)
Y ( z) +3z−1Y ( z) + y ( −1) +2 z−2Y ( z) + z−1 y ( −1) + y ( −2) z z −1 = + z z +2 z +2 2z 2z Y ( z) = z +1)( z + 2) 2 (
−2
x(n) + x(n − 1) − 3y(n − 1) − 2y(n − 2) = y(n) 所以 y(n) + 3y(n −1) + 2y(n − 2) = x(n) + x(n −1)
（2） z变换求解需要 (−1), y(− 2),用y(1), y(0)由方程迭代出页7 ） y 用 1 5 y(− 1) = − , y(− 2) = 2 4 变换， （3）差分方程两端取 变换，利用右移位性质 ）差分方程两端取z变换 n y ( n) + 3y ( n −1) + 2y ( n − 2) = x( n) + x( n −1) x ( n) = ( −2) u(n)
y ( n) = 2( −1) −2( −2)n+n( −2)n
n
( n ≥ 0)
Y ( z) A B B2 2 1 1 = = + + 2 z z +1 z + 2 ( z + 2)2 ( z +1)( z + 2)
A = 2, B = −2, B2 = −2 1 1
第 10 页
所以
Y (z) 2 −2 −2 = + + z z + 1 z + 2 (z + 2)2 z z z Y(z) = 2 −2 −2 2 z +1 z+2 (z + 2)
Y ( z) +3z−1Y ( z) + y ( −1) +2 z−2Y ( z) + z−1 y ( −1) + y ( −2) z z −1 = + z ( x( −1) = 0) z +2 z +2 a.由激励引起的零状态响应 由激励引起的零状态响应 z z −1 −1 −2 Yzs ( z) 1+ 3z + 2z == + z z +2 z +2 2 z 即 Yzs (z) = (z + 2)2 零状态响应为
第
例8-7-1
已知系统的差分方程表 达式为 y(n) − 0.9 y(n − 1) = 0.05u(n) y 求系统的完全响应。 若边界条件 (−1) = 1,求系统的完全响应。 解： 方程两端取z变换 方程两端取 变换
4 页
Y ( z) −0.9 z−1Y ( z) + y ( −1) = 0.05 z
Yzs (z) ↔ yzs (n) = (n + 1)(− 2) u(n)
n
第
第
引起的零输入响应 n 都成立）
Yzi (z) 1 + 3z−1 + 2z−2 = −2z−1 y(− 1) − 3y(− 1) − 2y(− 2)
2z − z(z − 1) − 3z Yzi (z) = = + (z + 2)(z + 1) z + 2 z + 1 零输入响应为