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实数（平方根、立方根、估算）
教学目标
1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根）
2.平方（立方）、开平方（开立方）；
3.估算

重点难点
1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根）
2.平方（立方）、开平方（开立方）；
3.估算

知识解析
知识要点：
一、无理数
概念：无限不循环小数叫无理数。
满足条件：（1）小数 （2）是无限小数 （3）不循环
二、平方根

1．算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即2xa，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为a，
读作“根号a”，a被称为被开方数。
性质：（1）正数有一个算术平方根 （2）0的算术平方根是0

（3）负数没有算术平方根 （4）双重非负性：a（0a）是一个非负数

2．平方根：如果一个数x的平方等于a，即2xa，那么这个数x就叫做a的平方根。
性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数
（2）0的平方根为0
（3）负数没有平方根
3．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数，开平方时，被开方数a必须
是非负数。

注：20aaa 200aaaaaa
三、立方根

1．立方根：如果一个数x的立方等于a，即3xa，那么这个数x就叫做a的立方根。
性质：（1）正数有一个正的立方根
（2）负数有一个负的立方根
（3）0的立方根是0
2．开立方的概念：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。开立
方与立方互为逆运算。开立方时，被开方数可以是正数也可以是负数。
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典例解析
考点一：定义及基本性质
【例1】在下列实数中，无理数是（ ）

A．13 B． C．16 D．227

【变式1】下列各数654.0、23、0)(、14.3、80108.0、1、1010010001.0、4、
544514524534.0
,其中无理数的个数是 ( )

(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4

【例2】若实数a，b满足，则a-b=( )
A.6 B.-6 C.2 D.-2

【变式1】若2)2(a与1b互为相反数，则ba的值为（ ）
A．2 B．12 C．12 D．21

【变式2】已知22340xyz，求x，y，z的值。

考点二：比较大小、估算
二次根式中常见的解题方法------平方法、倒数法

【例1】（1）比较32与23的大小；（2）比较512与12的大小。（3）比较15-19711和的
大小

【例2】已知5+11的小数部分为a，5－11的小数部分为b，求：
（1）a+b的值；（2）a－b的值.
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考点三：先化简再计算（注意陷阱）
【例1】81的平方根是 .
【变式1】-27 的立方根与的平方根之和是（ ）
A 0 B 6 C -12或6 D 0 或-6
【例2】
02783x


2
9140x

【变式1】
2
4(1)10x

064273x

考点四：简单计算
【例1】（1）12－21－231 （2）24612；

（3）2)525(； （4）363737
考试链接
1.已知:一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则这个正数是( )
A.4 B.2 C.-2 D.36
2.下列判断正确的是( )

A.若a=b,则= B.若|a|=|b|,则a=b
C.若|a|=,则a=b D.若aword版 初中数学
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3.下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.

4.关于x的方程的解为( )
A.x=9或x=-3 B.x=±9 C.x=15或x=-9 D.x=9

5.有一个数值转换器，原理如图所示．当输入的x为25时，输出的y是( )

A.B.5 C.D.
6.在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A,B两点对应的实数分别是和-1则点C所对应的实数
是__________．

7.观察下列各式及其验算过程：
22
2233

验证：33222222222(21)22223321213
33
3388

验证：33222333333(31)33338831318
(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果并进行验
证;
(2) 针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且2n）表示的等
式，并给出证明。
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课堂训练
A组

1.在下列各数:3.1415926,,0.2,,,,中无理数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列说法正确的是( )
A.一个数的平方根有两个 B.有理数与数轴上的点一一对应
C.两个无理数的和不一定是无理数 D.绝对值最小的实数不存在

3.若实数a，b满足，则a-b=( )
A.6 B.-6 C.2 D.-2
4.已知2a-1的算术平方根是3，b+2是25的算术平方根，则ab=( )
A.15 B.-15 C.35 D.-35

5.的平方根是( )
A.25 B.5 C.±5 D.±25

6.若，则a的取值范围是( )
A.a＞3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3
7.下列判断中,错误的是( )

A.是2的平方根 B.的倒数是22

C.的绝对值是 D.的平方的相反数是2
8.下列式子中,属于最简二次根式的是( )

9.A. B. C. D.

9.

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B组
1.已知的整数部分是a，小数部分是b，则a-2b的值为( )
2.A.B.C.D.
2.计算：=( )
3.A.B.C.D.
3.若实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( )

A.B.C.D.
4.设的整数部分为a,小数部分为b,则ba1的值为( )

A.221 B. C.221 D.
课后作业
1.下列说法正确的是( )
A.无限小数是无理数 B.有理数只是有限小数
C.无理数的相反数还是无理数 D.两个无理数的和还是无理数

2.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为( )

A.0 B.-2a C.2b D.-2a-2b
3.的值( )
A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间

4.现有四个无理数,,,,其中在实数+1和+1之间的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.，，的大小关系是( )
A.<6.对于实数a,b,给出以下三个判断:①若|a|=|b|,则②若,则aword版 初中数学
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.其中正确的判断的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0

7.
5213123
2
1
； 4381279 50212582543