实数可按下图进行详细分类：
0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎬
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎧⎨⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
⎩⎪
⎪⎫
⎧
⎪
⎪⎨⎬⎪
⎪⎩
⎭⎩
正整数
整数
负整数有理数
有限小数或无限循环小数
正分数
实数分数
负分数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 实数与数轴上的点一一对应.
(
以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2
x a =
，则x 就叫做
a 的平方根．
一个非负数a 的平方根可用符号表示为
“
”
．
算术平方根：
一个正数
a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为
；
有一个平方根，就是0，
0的算术平方根也是
0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根
.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）
一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若
0a ≥
.
平方根的计算：
知识点睛
中考要求
平方根和立方根
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．
通过验算我们可以知道：
⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
①若0a ≥
，则2a =；②不管a
(0)
||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
注意二者之间的区别及联系．
⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<
之间，即：0≤利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致
范围．
立方根的定义及表示方法：
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表
，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的
其实省略了根指数“2”
“三次根号a ”
“二次根号a ”
“根号a ”.
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.
立方根的计算：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．
通过归纳我们可以知道：
⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．
a =
，3a =
⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<，
< 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．
重点：平方根和立方根的基本概念，以及灵活应用 难点：平方根的性质
重、难点
【例1】 判断下列各题，并说明理由
9±． ( )
( ) ⑶2
a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷
5=，则5a =-. ( )
3=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．
( )
⑻ 若236x =
，则6x ==±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )
⒁ 12-是1
6-的立方根． ( )
⒂
x ． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )
【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .
⑵
2，则(25)x +的平方根是
；若5=，则x = .
⑶
1=-，则a
；若0a =，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .
⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .
⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .
⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身
的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .
【例3】 计算下列各题
⑴21
(51)30
x --=
；
⑵3(100.2)0.027x -=-
【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．
例题精讲
【例5】 已知3(2)27a b +=-
5=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).
【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.
【例7】 (人大附单元测试)已知a
为实数，且满足200a a -=，求2200a -的值.
【练习1】若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．
课堂作业
【练习2】一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．
【练习3】(101数学实验班单元练习)
已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．
【练习4】(2007年成都)
2(5)0b +=，那么a b +的值为 .
【练习5
】b =，求a ，b 的值.
【练习6】若a 、b
为实数，且|1|0a -，
求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)
ab a b a b a b ++++++++
+的值.
1． ⑴ (安顺市中考题)
的平方根是
；2( 2.5)-的平方根是 ；2(
的平方根是 .
⑵ (威海中考题
的相反数是 ；的立方根是 .
⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根 等于它本身的数是
；平方根与立方根相等的数是 . ⑷ (江西省中考题)n 为（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
家庭作业
⑸ (上海市中考题)2=的根是 .
1.22 _____. 2． 若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．
3． 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根.
4． 2a b x -=3a +的算术平方根，3b a y -=是3b -的立方根，求y x -的立方根.
5． 已知：|1|0a b -+．求：24a b +的立方根．。