绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q PA ．)1,2(-B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)1,2(-- 【答案】A【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P )1,2(-.2．椭圆22194x y +=的离心率是 A．3B．3C ．23D ．59【答案】B【解析】e ==，选B. 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．π2+1 B ．π2+3 C ．3π2+1 D ．3π2+3 【答案】A 【解析】2π1211π3(21)1322V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A. 4．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D. 5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B.6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6”>2S 5的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】4652S S S d +-=，所以为充要条件，选C.7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8.【答案】A 【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A.9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA ==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<所以选B10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ．I ２<I １<I ３【答案】C 【解析】因为90AOB COD ∠=∠> ,所以0(,O B O C O A O B O C O D O A⋅>>⋅>⋅<< 选C非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内，S 内=。

【答案】2【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则：13=611sin 6022S ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭内 12．已知ab ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b +=，ab =。

【答案】5,2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==13．已知多项式()1x +1()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________________，5a =________.【答案】16,4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m mC x C x ，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令0x =可得325124a =⨯=14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是______,cos ∠BDC =_______.【答案】,24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△.又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=.15．已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______.【答案】4，16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法.（用数字作答） 【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为：411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种. 17．已知α∈R ，函数f(x)=‖x +4x‖–α+α在区间[1,4]上的最大值是5，则α的取值范围是___________. 【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论： ①.当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②.当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③.当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：92a =或92a <综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）.（Ⅰ）求f （2π3）的值. （Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为单调递增区间为ππππ.36k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）f （x ）=22sin cos cos cos22x x x x x x --=-- =-2πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则f （2π3）=-24ππsin 2.36⎛⎫+=⎪⎝⎭（Ⅱ）f （x ）的最小正周期为.令2ππππππ22πππ.26236k x k k k x k k Z Z ，，得，-≤+≤+∈-≤≤+∈函数f （x ）的单调递增区间为ππππ.36k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）82. 【解析】方法一：（1）取AD 的中点F ，连接EF ，CF ∵E 为PD 的重点 ∴EF ∥P A在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AD =2DC =2CB ，F 为中点 易得CF ∥AB∴平面EFC ∥平面ABP ∵EC ⊂平面EFC ∴EC ∥平面P AB（2）连结BF ，过F 作FM ⊥PB 与M ，连结PF 因为P A =PD ，所以PF ⊥AD易知四边形BCDF 为矩形，所以BF ⊥AD所以AD ⊥平面PBF ，又AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PBF ，所以BC ⊥PB设DC =CB =1，则AD =PC =2，所以PB ，BF =PF =1 所以MF =12，又BC ⊥平面PBF ，所以BC ⊥MF所以MF ⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12也即点D 到平面PBC 的距离为12因为E 为PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离为14在△PCD 中，PC=2，CD =1，PD ，由余弦定理可得CE设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则14sin CE θ=方法二 解：（1）略；构造平行四边形（2）过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H在Rt △PDH 中，设DH =x，则易知2222(1)2x x -++=，（Rt △PCH ） 解得DH =12过H 作BC 的平行线，取DH =BC =1， 由题易得B （32，0,0），D （12，1,0），C （32，1,0），P （0,0），E （14，12）则51(,42CE =--，3(,0,2PB =，(0,1,0)BC =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则30220n PB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令x =1,则t=,故(1,0,3)n =，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ=51|4|cos <,n|=8CE θ-+== 故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为820．（本题满分15分）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）. （Ⅰ）求f (x )的导函数；（Ⅱ）求f (x )在区间1[+)2∞，上的取值范围.【答案】（Ⅰ）f ＇（x ）=（1-x ）（）x e -；（Ⅱ）[0, 1212e -].【解析】（Ⅰ）f ＇（x ）=（x ＇x e -+（x ）（x e -）＇=（x e --（x ）x e -=（x +x e -=（1-x ）（x e -（Ⅱ）令g （x ）= x ，则g ＇（x ），当12≤x <1时，g ＇（x ）<0，当x >1时，g ＇（x ）>0，则g （x ）在x =1处取得最小值，既最小值为0，又x e ->0，则f （x ）在区间[12，+∞）上的最小值为0.又f （12）=1212e -，f （1）=0，f （52）=1252e -，则f （x ）在区间[12，+∞）上的最大值为1212e -.综上，f （x ）在区间[12，+∞）上的取值范围是[0,1212e -]. 21．（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点11()()24P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值. 【答案】（Ⅰ）（-1,1）；（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）由题易得P （x ，x 2），-12<x <32， 故k AP =21412x x -+=x -12∈（-1,1）， 故直线AP 斜率的取值范围为（-1,1）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知P （x ，x 2），-12<x <32， 故PA =（-12-x ，14-x 2）， 设直线AP 的斜率为k ， 则AP ：y =kx +12k +14，BP ：y =13924x k k -++， 由112413924y kx k y x k k ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩222234981(,)2244k k k k Q k k +-++⇒++ 故23432221(,)11k k k k k k kPQ k k +----++=++ 又2(1,)PA k k k =---- ，故334222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111k k k k k k k PA pQ PA PQ k k k +-+-+--==+=+++，又(1,1)k ∈- 所以PA PQ ∈22．（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n ∈N*）.证明：当n ∈N*时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.（Ⅰ）证明：令函数()ln(1)f x x x =++，则易得()f x 在[0,)+∞上为增函数． 又1()n n x f x +=，若10()(0)0n n x f x f +>⇒>=恒成立10n x +⇒>， 又由11ln(1)n n n x x x ++=++可知0n x >，由111111ln(1)ln(1)0n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-=++-=+>⇒>． 所以10n n x x +<<．（Ⅲ）11112111212222n n n n n n n n x x x x x x x x ++++-≤⇒-≤⇒≥-， 即121111222n n n n n x x +++≥-⇒递推得12+11111(1)11111182122224212n n n k n k n x x -+=-≥-=-=+⇒-∑ 2211(2)1222n n n x n --≤≤≥+． 由11x =知21(N*)2n n x n -≤∈，又由()ln(1)0h x x x =-+>可知112()()0n n n x x h x h x ++-=>=．即11111112(N*)222n n n n n n n n x x x x x x n ++-->⇒>⇒≥=∈． 综上可知，121122n n n x --≤≤．。