2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学（卷）
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1）．
A B C D
【答案】
【解析】
2）．
A B
C D
【答案】
【解析】：双曲线
∴
∴
3）．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】：C
【解析】：由三视图可知，原图如下：
V S h =⋅底【注意有文字】
(12)2
22
+⨯=
⨯ 6=
∴正确答案为C
4．复数
2
1i -（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）． A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --
：B
【解析】：
2
22(1)2(1)11(1)(1)1i i i i i i i ++===+--+- ∴其共轭复数为1i + ∴正确答案为B
5．函数2sin 2x
y x =的图象可能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】：D
【解析】：函数2sin 2x
y x =是奇函数，其函数图象关于原点对称
∴排除A ,B 选项
又∵当(,0)x π∈-时，函数有零点2
x π
=-
∴正确答案为D
6．已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的（ ）． A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】：A
【解析】：∵m α⊄，n α⊂，m n ∥可以推出m α∥
∴“m n ∥”是“m α∥”的充分条件 又∵m α⊄，n α⊂，m α∥不能推出m n ∥ ∴“m n ∥”不是“m α∥”的必要条件 综上“m n ∥”是“m α∥”的充分不必要条件
7
（）．
A B
C D
【答案】
【解析】
8
点）
）．
A B C D
【答案】
【解析】
∴正确答案是D
9．已知a ，b ， e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π
3
，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ）．
A ．31-
B ．31+
C ．2
D ．23-
【答案】：A
【解析】：43()(3)0b e b b e b e -⋅+=--=r r r r r r r
设(1,0)e =r ，(,)b x y =r
∴2(1)(3)0x x y --+= ∴22(2)1x y -+=
如图a b BA -=r r u u u r 而BA u u u r
在O A OA '⊥时最短，
此时31a b BA OA OB -==-=-r r u u u r u u u r u u u r
∴正确答案是A
10．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）．
A ．13a a <，24a a <
B ．13a a >，24a a <
C ．13a a <，24a a >
D ．13a a >，24a a >
【答案】：B
【解析】：若0q >，则12341231a a a a a a a +++>++> ∴12341234123ln()ln()a a a a a a a a a a a +++>+++>++
∴
非选择题部分
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题
4分，共36分．
11．我国古代数学著作《丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五．鸡母一，值钱三．鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁．母．雏各几何”设鸡翁，鸡母，鸡雏
．【答案】
【解析】
12
__________，最大值是__________．
【答案】
【解析】：通过不等式组，画出可行域，如图：
∴(2,2)A ,(4,2)B -
∴3z x y =+的最小值是2-，最大值是8
13．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若7a =，2b =，60A =︒，则sin B =__________，c =__________．
【答案】：21
7
；3 【解析】∵7a =，2b =，60A =︒， ∴3
sin 2A =
∵sin sin a b
A B
= ∴21sin 7
B =
∴32717321sin sin()272714
C A B =+=⨯+⨯= ∴
221
sin sin 3c a C A == ∴3c =
14．二项式8
312x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式的常数项是__________．
【答案】：7
【解析】：由通项公式83181()2r
r r r T C x x -+⎛⎫
=⋅⋅ ⎪⎝⎭
，
∴求常数项可得：8()03
r
r -+-=， ∴2r = ∴常数项是281
74
C ⨯
= 15．已知R λ∈，函数24
()43x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩
≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是
__________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值围是__________．
【答案】：14x <<；13λ<≤或4λ>
【解析】当2λ=时，24
2()432
x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，图象如下：
则()0f x <的解集为14x << 若函数()f x 恰有2个零点： ① 二次函数有两个零点，一次函数没有零点，则4λ>； ②
二次函数有一个零点，一次函数有一个零点，则13λ<≤；
综上可得13λ<≤或4λ>
16
__________个没有重复数字的四
位数．（用数字作答）
【答案】
【解析】：分两种情况：
①
②
17．已知点
，椭圆
上两点，
满足
则当
【答案】
【解析】
5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
18．（本题满分14
②
19．(本题满分15分)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，
=120ABC ︒∠，1=4A A ，11C C =，12AB BC B B ===．
（Ⅰ）证明：1111AB A B C ⊥平面．
（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．
【解析】：(1)过1B 作11B E AA ⊥于点E 过1C 作11C F BB ⊥于点F
12B E AB == 12AE BB == 12A E =
∴22111122A B A E B E =+= 221122AB BB AB =+=
14AA =
∴222
1111A B AB AA +=
∴
20．(本题满分15分)
【解析】：
12
45
2n n n n b b ----=
M
210
3
2b b -=
累加得：11011
3741222n n n b b +---=+++L 令011
3741
222n n n T --=
+++L 121137454122222
n n n n n T ---=++++L ∴147
142n n n T -+=-
∴11
47
152n n n b +-+=- ∴2
43
152n n n b -+=-
21．(本题满分15分)如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2
:4C y x =上
存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴．
（Ⅱ）若P 是半椭圆2
2
1(0)4
y x x +=<上的动点，求PAB △面积的取值围．
【解析】：
又
22．（本题满分15
点．
【解析】：
综合得证。