平方差公式（提高） 知识讲解
【学习目标】
1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
()()22a b a b a b -=+-
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边
是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以
是单项式或多项式.
【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——平方差公式
【高清课堂400108 因式分解之公式法 例1】
1、分解因式：
（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22
(2)(21)x x +--．
【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解．
【答案与解析】
解：（1）222
()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-．
（2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+
[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+
(9)(9)a b a b =+--
(9)(9)a b a b =-++．
（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--
(31)(3)x x =+-．
【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式.
举一反三：
【变式】将下列各式分解因式：
（1）()()22259a b a b +--； （2）()2
2234x y x -- （3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；
【答案】
解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()
()()8228444a b a b a b a b =++=++
（2）原式＝()()232232x y x x y x -+--
＝()343y x y --
（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-
（4）原式()
()()2249433x x y x x y x y =-=+-
2、分解因式：
（1）2128
x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】 解：（1）221112(16)(4)(4)888
x x x x -+=--=-+-． （2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．
（3）54222
16(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．
（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-．
【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止．
举一反三：
【变式】（2015•杭州模拟）先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=
．
【答案】
解：原式=（2a+3b+2a ﹣3b ）（2a+3b ﹣2a+3b ）
=4a×6b=24ab ，
当a=，即ab=时， 原式=24ab=4．
类型二、平方差公式的应用
3、2222211111111......1123420112012⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案与解析】 解：2222211111111......1123420112012⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13242010201220112013
(22332011201120122012)
1201322012
20134024=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 【总结升华】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差公式，再两两约分即可求解，解题的关键是应用平方差公式简便计算．
4、（2015春•成武县期末）阅读下面的计算过程：
（2+1）（22+1）（24+1）
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）
=（24﹣1）（24+1）
=（28﹣1）．
根据上式的计算方法，请计算：
（1）
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．
【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
【答案与解析】
解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）
=2（1﹣）（1+）…（1+）
=2（1﹣）
=；
（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
=（364﹣1）﹣
=﹣．
【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．。