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初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算
一、 有理数的基本概念梳理与强化：
（一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。

理清小知识点，减少失误
1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数
2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方
等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。

3.互为相反数的两个数的绝对值相等。

若|－x |=|2
1-|，则x =______；
若|x |=|－4|，则x =____；
若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
4.互为相反数的两个数的平方相等。

如果 ，那么a=____；若
x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。

（－2）3的底数是_______，结果是_______；
－32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。

计算： （1）
= ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5）
= 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数
是 ；-a+b-c 的相反数是 ；
变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣=
（二）突破绝对值的化简：
7.绝对值即距离，则0≥a
8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0）
|a| = （a ＝0 ）
（a ＜0 ）
9.绝对值的非负性：
162=a
（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a ，则a ； （3）若|a|＝—a ，则a ；
（4） ， 则______||=a a ；（5）0<a ，则______|
|=a a ；（6）若|a|+|b|=0，则a 且b
小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。

例1． 已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b ）2003+a 2003+b 2003的值
是多少？
例2.若ab<0，求
||a a +||b b +||ab ab 的值．
例3.（1）如果x ＜－2，那么|1－|1+ x||= ； 若|m －1|=m －1,则m___1. ； 若|m －1|=1－m,则m ___1.
（2）已知3a =，且0a a +=，则321a a a +++=___________．
例4.（数形结合） 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C B 0 A
即时练习：1已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c —b|—|a —c|+|b-a|
2.数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简
|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||
例5. 若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|
即时练习：1.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||
2. 若a<0，试化简||3|||
3|2a a a a --
3. 若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值为
例6.（难题，整体思想）若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求
y x y x -+2的值
（三）分类讨论的思想：
例7. 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且x 的绝对值是5，
试求x －（a+b －cd ）+│（a+b ）－4│+│3－cd│的值．
即时练习：1. 已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少？
2.解方程：|x-5|=8
（四）两个重要的非负数：①0≥a ；②a 2≥0；③ 222a a a ==
例8.()()的值。

求且若b a c c b
a a -⋅=-=++-32,21,0212。