第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n≠互质）。

4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：①(0)||(0)a aaa a≥⎧=⎨-≤⎩②非负性2(||0,0)a a≥≥③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。

ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ababa b ab+-则的值等于多少？2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd-+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b-++化简的结果等于（A.2aB.2a- C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b-+-=，求b a的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a+的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求20062007a b+。

8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：5917336512913248163264+++++-4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。

5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc 的值。

第二讲 数系扩张--有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。

② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】： 1、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-（2）若0x，化简|||2||3|||x x x x ---2、设0a ，且||ax a ≤，试化简|1||2|x x +--3、a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b = （5）若||||a b ，则ab （6）若ab ，则||||a b4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？6、设ab cd ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。

7、abcde 是一个五位数，a b cde ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。

8、设1232006,,,,a a a a 都是有理数，令1232005()M a a a a =++++2342006()a a a a ++++,1232006()N a a a a =++++2342005()a a a a ++++,试比较M 、N 的大小。

三、【课堂备用练习题】：1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。

2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

3、如果0abc ≠，求||||||a b c ab c ++的值。

4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-5、化简下式：||||x x x -第三讲 数系扩张--有理数（三）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。

（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。

（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。

二、【典型例题解析】：1、计算：3510.752(0.125)124478⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2、计算：（1）、()()560.9 4.48.11+-++-+（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25（3）、（-423）+111362324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、计算：①() 232321 1.75343⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②111 142243⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、化简：计算：（1）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）35123.7540.1258623⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）()()34 0115477⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4）235713346⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（79-57618+）5、计算：（1）()()() 324 2311 -+⨯---（2）()()2 19981110.5333⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦（3）22831 210.52 552142⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷--⨯--÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、计算：()34133 12100.5 1644⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭7、计算：33232002 13471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-⨯+----÷++-：第四讲数系扩张--有理数（四）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧：①凑整（凑0）；②巧用分配律③去、添括号法则；④裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：1、计算：23797 0.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷2、1111111111(1)()(1)2319962341997231997----⨯++++-----1111()2341996⨯++++3、计算：①2232(2)|3.14|| 3.14|(1)ππ-+-------②{}23 5324[3(2)(4)(1)]7 -⨯-+⨯-⨯---÷--4、化简：111()(2)(3)(9)122389x y x y x y x y+++++++⨯⨯⨯并求当2,x=9y=时的值。

5、计算：2222222221314112131411 nnSn++++ =++++----6、比较1234248162n nnS=+++++与2的大小。

7、计算：33232002 13471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1) 81634242001 -⨯+----÷++-8、已知a、b是有理数，且a b，含23a bc+=，23a cx+=，23c by+=，请将,,,,a b c x y按从小到大的顺序排列。

三、【备用练习题】：1、计算（1）1111142870130208++++（2）222133599101+++⨯⨯⨯2、计算：111111 20072006200520041 232323-+-+-3、计算：1111 (1)(1)(1)(1)2342006 -⨯-⨯-⨯⨯-4、如果2(1)|2|0a b -++=，求代数式220062005()()2()b a a b ab a b -++++的值。

5、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2221(12)a b m m cd-+÷-+的值。

第五讲代数式（一） 一、【能力训练点】：（1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、【典型例题解析】： 1、用代数式表示：（1）比x y 与的和的平方小x 的数。

（2）比a b 与的积的2倍大5的数。

（3）甲乙两数平方的和（差）。

（4）甲数与乙数的差的平方。

（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。

（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。

（7）比a 的平方的2倍小1的数。

（8）任意一个偶数（奇数） （9）能被5整除的数。

（10）任意一个三位数。

2、代数式的求值：（1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a ba b -+++-的值。

（2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。

（3）已知2a b =；5c a =，求624a b ca b c +--+的值(0)c ≠ （4）已知113b a -=，求222a b ab a b ab ---+的值。

（5）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式31Px qx ++的值。

（6）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。