0
1
2 1 3 1 1 ( x x ) 0 3 3 3
3 2
7
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
例6.2 解
2 求由抛物线y x 与直线 x y 2 0 所围成图形的面积．
y2 x 得交点 解方程组 y 2 x
1
P(1,1), Q(4, 2)
2 3 1 y y 9 2 A [(2 y) y ]dy (2 y ) 2 2 3 2 2
2 a a
b
b
类似地，如图所示，由连续曲线 直线 y
x ( y),
c, y d
c d 以及
y 轴所围成的.
11
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
曲边梯形绕
y
轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
V y π x 2 dy
c
d
π [ g( y )]2 dy
c
d
12
a
b
y
xa
xb
x
A
y f ( x)
3
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
(3) 由曲线 y f ( x) （有正有负），直线
x a,
x b ( a b)
c a
及
x
d c
轴所围成的的面积为
b
A f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
d
y
y f ( x)
4 2 4 2
14
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
4.6.2 定积分在经济上的应用举例
1．已知边际函数求经济总量及其改变量
(1)设生产的总成本 C ( x ) 的边际成本是 C ( x )
那么当产量为
x
时，总成本
x
C ( x) C( x)dx C (0)
0
其中
C (0) 为固定成本，
x1
此时的平均效益为
R R x2 x1
17 首页 返回

结束
x2
x1
R( x)dx
x2 x1
上页 下页 铃
经济应用数学
(3)若已知边际利润函数
则总利润函数为
L( x) R( x) C( x)
L( x) L( x)dx C (0) [ R( x) C( x)]dx C (0)
x1
L( x)dx
经济应用数学
x2 x1
t
总产量的变化率为
f ( t ) 100 12t 0.6t 2，求：
； （1）总产量函数 Q( t )
（2）从
t0 2
t
到
t1 4
t
这段时间内的总产量．
解 （1）总产量函数为
Q(t ) f (u )du (100 12u 0.6u 2 )du
经济应用数学
4.6 定积分的应用
4.6.1 定积分在几何上的应用
4.6.2 定积分在经济上的应用
1
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
4.6.1 定积分在几何上的应用
1．平面图形的面积 在直角坐标系中求平面图形的面积，借助几何图形 和定积分的几何意义，容易得到计算平面图形面积 的定积分表达式． （1）平面图形是由一条曲线 y f ( x ) 和直线 x a ,
则以截面 A( x) 为底、以
是旋转体体积的微元素：
dV A( x)dx y 2dx [ f ( x)]2 dx
10 首页 返回 结束 上页 下页 铃
经济应用数学
(3)将微元 dV 依次相“加”，即在 [ a, b] 上积分，得
所求的旋转体体积为
Vx π y dx=π [ f ( x)]2 dx
（2）当产量从4台增加到6台时，求增加的总成本和总收入； （3）当产量从4台增加到6台时，求增加的平均成本和平均
收入；
（4）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？
21 首页 返回 结束 上页 下页 铃
经济应用数学
解 （1）由于总成本是固定成本和可变成本之和，所以 总成本函数为
1 C ( x) C (0) C(t )dt 1 0 (3 t )dt 0 3
x1
x2
此时的平均成本为
C C x2 x1
16 首页 返回

x2
x1
C ( x)dx
x2 x1
上页 下页 铃
结束
经济应用数学
(2)若已知边际效益 这里
R( x),
则效益函数R( x)

x
0
R( x)dx,
R(0) 0
当产量由
x1 增到 x2
时， 效益的改变量
x2
R( x) R( x)dx
y d
x ( y)
c o
6 首页 返回
x ( y)
A
x
结束 上页 下页 铃
经济应用数学
例6.1
2 2 求由两条抛物线 y x, y x 所围成的图形的面积．
y2 x ，得两条抛物线的 解 解方程组 2 y x (1,1) 交点为 (0,0),
A ( x x 2 )dx
xb 及
b a
x
轴围成的.
y
y f ( x)
A f ( x)dx
xa
2 首页 返回 结束 上页
A
xb x
下页 铃
经济应用数学
（2）由曲线 y f ( x) ( f ( x) 0) ，直线 x
a, x b
(a b) 及 x 轴所围成的图形的面积为
A
b a
f ( x)dx f ( x)dx
8
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
2．旋转体的体积 旋转体是指由平面图形绕该平面内的某直线旋转 一周所形成的立体图形，这条直线叫做旋转轴．
下面我们计算由连续曲线
y f ( x) 、直线 x a
轴旋转一周所成旋转体
x b 所围成的图形绕 x
(如图)的体积 V
9
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
解得
1 A T ln r A ar
28
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
若对某企业投资400万元，年利率 r 10%， 设在10年内的均匀收入率为100万元/年，试求： （1）该投资的纯收入（贴）现值； （2）收回该笔投资的年限是多少？ 例6.6 解 这里， a 400, A 100,r 10% 0.1, T 10 得，10年中投资所得纯收入（贴）现值为
A1
xa o
c
A2
A3
d
xb x
4
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
(4) 由两条连续曲线 y f ( x), y g ( x)
( f ( x) g ( x)),
直线 x a, x b
b
(a b) 所围成的图形的面积为
A [ f ( x) g ( x)]dx
（常数） f (t ) A
间内的收入）是均匀的，即
年利率也为常数，按连续复利计算，则在 [0, T ]
内的总收入现值
26 首页 返回 结束 上页 下页 铃
经济应用数学
R
T
0
A rt T A rT Ae dt e (1 e ) 0 r r
rt
（2）纯收入（贴）现值的计算 投资
1 2 1 2 L( x) R( x) C ( x) 7 x x (1 3x x ) 2 6 2 2 4 x x 1 (万元) 3
（2） 当产量从4台增加到6台时，增加的总成本和总收入 分别为
C C( x)dx C ( x ) 4
6
6
4
1 2 1 (1 3 6 6 ) (1 3 4 4 2 ) 6 6 9.33 (万元)
260.8
20
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
例6.5
已知生产某产品台的边际成本函数和边际收入
1 函数分别为 C ( x) 3 x (万元/台)， 3 R( x) 7 x (万元/台)．
（1）若固定成本 C (0) 1 (万元)，求总成本函数，
总收入函数和总利润函数；
0 0
x
x
其中
C (0) 为固定成本， L( x)dx 表示不考虑固
0
x
定成本下的利润函数，亦称为毛利润 当产量由
x1 增到 x2
时, 利润的改变量为
x2
L( x) L( x)dx
x1
18 首页 返回 结束 上页 下页 铃
此时的平均利润为 L
例6.4 设某产品在时刻
x2
a
y
y f ( x)
A
y g( x )
o a
5 首页 返回 结束
bx
上页 下页 铃
经济应用数学
(5)由曲线 x ( y), x ( y) ( ( y) ( y)), 直线