于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOC的面积
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极限存在准则 重要极限
sin x x tan x ,
sin x 即 cos x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
x x0 ( x )
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
注 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
4
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极限存在准则 重要极限
例1 求 lim(
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
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极限存在准则 重要极限
四、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
极限存在准则 重要极限
第5节 极限存在准则、 两个重要极限、连续复利公式
一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
二、 两个重要极限
sin x lim 1 x 0 x
1 n lim(1 ) e n n
三、连续复利公式
1
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极限存在准则 重要极限
一、极限存在准则
x

xa x 3、 lim ( ) x x ) n n1
极限存在准则 重要极限
例2
证明数列 xn 3 3 3 ( n重根
xn 是单调递增的 ;
式)的极限存在. 证 显然 xn1 xn ,
xn 是有界的;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
极限存在准则 重要极限
1 x 2x 7、 lim ( ) _________. x x 1 x 8、 lim (1 ) _________. x x
二、求下列各极限: 1 cos 2 x 1、 lim x 0 x sin x 2、 lim (tan x ) tan 2 x
A1 A0 1 r ) （
A2 A1 1 r ) A0 (1 r ) 2 （
Ak A0 (1 r ) k
r n
如果一年分 n 期计息，年利率仍为 r ，则每期利率为
r A1 A0 1 ) n （ n
于是一年末的本利和 且前一期的本利和为后一期的本金，
k 年末共计复利 nk 次，其本利和为
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1 1 n
1,
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
5
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lim
n
n n 1
2
lim
n
1
1,
由夹逼定理得
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称为贴现问题，这时的利率称为贴现率。
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r n
极限存在准则 重要极限
1 x 例4 求 lim(1 ) . x x
解
1 1 x 1 原式 lim[(1 ) ] lim x x 1 x x (1 ) x 1 . e
3 x 2x 例5 求 lim( ) . x 2 x
A 2 3 A,
7
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极限存在准则 重要极限
二、两个重要极限
1.
C
B
o

x
sin x lim 1 x 0 x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x , (0 x ) 2
作单位圆的切线 ，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
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极限存在准则 重要极限
r nk Ak A0 (1 ) n
如果计息期数 n ，即利息随时计入本金（连续
复利），则 k 年末的本利和为
r nk 1 Ak lim A0 (1 ) lim A0 {[1 ] }rk A0 e rk n n n n r A A 上述两式中： 0 称为现值， k 称为将来值（终值）， 已知 A0 求 Ak ，称为复利问题， 已知 Ak ，求 A0
（ D ）
( B ) ; ( D) e .
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( A) e 2; (C ) 0;
2
极限存在准则 重要极限
练 习 题
一、填空题: sin x 1、 lim _________. x 0 x sin 2 x 2、 lim __________. x 0 sin 3 x
0, N1 0, N 2 0, 使得
2
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极限存在准则 重要极限
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,
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极限存在准则 重要极限
当 x 1时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x] 1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1 1 x lim (1 ) e . x x
1 x lim (1 ) e x x
1 令t , x
x 0
1t lim(1 x ) lim(1 ) e. x 0 t t
1 x
1 x
lim(1 x ) e
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极限存在准则 重要极限
三、连续复利
设本金为 A0 ，年利率为 r ，则 一年末的本利和 二年末的本利和 k年末的本利和
2 lim (1 ) e .
0 某过程
1
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极限存在准则 重要极限
思考练习
选择
1 ( 1) lim x sin ( C ). x x ( A) ; ( B ) 不存在; (C ) 1; ( D ) 0.
（2）lim 1 x
x 0 2 x
2
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极限存在准则 重要极限
2. 定义
1 n lim(1 ) e n n
1 n lim (1 ) e n n
1 n 设 x n (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
当 0 x 时, 2

lim cos x 1,
x 0
注
又 lim1 1,
x 0
x 2 x 0 1 cos x 1 cos x 2 sin 2 2 2 lim (1 cos x ) 0
x 0
机动
当 0 x 时， 2
sin x lim 1. x 0 x
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极限存在准则 重要极限
令 t x,
1 x 1 t 1 t lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) x t t x t t 1 1 t 1 1 lim (1 ) (1 ) e. t t 1 t 1
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
( 2) lim yn a , lim zn a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且lim x n a .
n
n
证 yn a,
zn a ,
3、 lim
x 0
x 0
4、 lim x cot 3 x __________.
sin x 5、 lim __________. x 2 x
arcsin x __________ . x
6、 lim (1 x ) _________.
x 0
1 x
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2
x 2
2
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极限存在准则 重要极限
1 cos x 例3 求 lim . 2 x 0 x
x 2 x 2 sin sin 2 1 lim 2 解 原式 lim x 0 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 lim( 1 x 0 x 2 2 2 1 . 2