第二讲：等差数列、等比数列的通项公式
【知识结构】
1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数
d （与项数n无关），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。

等差数列的递推公式为：即
a n a n 1 d,n 2,n N （d为常数）/a ni a n d,n N /，这就是一个恒等式，数列
中的恒等式一定要注意变量的范围，即项数n的范围。

a b
2、等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A -
2 3、等差数列的通项公式：a n a i （n 1）d dn 佝d）。

当d 0时，从函数的角度
看，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线的散点。

【典型例题】
例1、（1）已知等差数列｛a n｝中，a12，公差为3,则通项公式a n3n 1。

（2）已知等差数列｛a n｝中，a2 3，a4 7，则通项公式a n2n1。

（3）已知等差数列｛a n｝中，2a2 a31,a7 a8 20 ，a k15，则k 10。

（4）在等差数列a n中，若a1 a4a$ a12 a15 2 则2。

解:⑶设a1,公差d 3a1 4d 1
2耳13d 20,解得［c3 a n 2n
d 2
5k 10
等差数列的通项公式的作用是把等差数列中的任意一项用首项和公差表示。

练习：P7自主练习中的1,2,3（2）（3）（4）,4 。

例2、
（1
）
a n 1a n2,n N*；
（2
）
满足2a n 1a n 2 a n, n N * ；
（3
）a n 1a n n,n N *
满足条件（2），数列｛a n｝是等差数列。

例3、两个数列1, x i , X 2,……，X 7, 5和1, y i , y 2,……，y 6, 5均成等差数列公差分别
解：5 = 1+ 8d 1, d 1 = 1,又 5= 1 + 7d 2, d 2
2
(2)证明： a n pn q(p,q 为常数)是等差数列，说明首项与公差。

例6、
首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是
(D )
8 8 8 A d >3 B 、d<3 C 、 w d<3 D
3
、3<dw 3
例
7、 数列a
满足a n 1 3an ,n N* ,
a n 3
(1)求证：
{-}是 :等差数列；(2 )若a 1 1 ,求a 40的值。

a n 4
1
解：⑴由—
1 a n 3 1
1 -
,n N* ｛—｝是公差为 1
1
的等差数列;
a n 1
a n
3a n
a n
3
a n 3 1
⑵—4 (n 1)
1 1
17 a 40
1
a n
3 a 40
17
4、 等比数列：定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列 •这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q 表示(q
a
丰
0)
,即：一 =q ( n 2 , q M 0) o
a n 1
5、 等比数列的通项公式：a n a 1 q n1(a 1 q 0)。

“ a n 0 ”是“ ｛a n ｝为等比数列”的 必要非充分条件。

6、 等比中项：如果a,G,b 成等比数列，那么 G 叫做a 与b 的等比中项，且 G ■ ab 。

是d i ,
d 2,求也
d 2
例4、已知数列｛a n ｝满足3a n 1 3a n 2,n N * ,其中a 3 2，求亦
10。

例5、(1)证明：数列a n
3n 10是等差数列，说明首项与公差。

练习：P18自主预习中，2,3,1,4
解：设公比为q, aiq4 4，q24,解得4 % ai 1
16, q 2 q 2
a n 2n或（2）n.
练习：P19针对练习3
求数列｛a n｝的通项公式。

的公比。

解：设｛a n｝的公差为
d,a；
冃月3,&11 为2,2,2;或2,8,32
例11、设等差数列an的公差d不为0，a19d •若a k是a1与a2k的等比中项，则k （B ）
A. 2 E. 4 C. 6 D. 8
例12、已知数列｛a n｝既是等差又是等比数列的数列，求证：｛a n｝为非零常数列.
证明:Q｛a n｝是等差数列，则a n pn q（p,q为常数），又｛a.｝是等比数列,
则an乩，即a n2a n1a n 1 ( n2), (pn q)2[p(n1) q][p(n1) q]
a n 1
a n
对于n2,n N恒成立 2 2
p n 2 2 2
2pqn q p (n 1)pq(n 1)pq(n 1) q2即p2n2 2 2
2pq n q p 2 2
n p 2 2
2pqn q p 0p 0 a n q, q为常数
又｛a n｝为等比数列，所以｛a n｝为非零的常数列。

例8、已知等比数列｛a n｝中，a34,a5 16，求数列｛a n｝的通项公式。

例9、已知数列｛a n｝满足a1 1,3a n6a n 1，（1）求证数列｛3a n 2｝是等比数列; (2)
解:(1)気 2 6am,n N 瓷呼Ng
3a n 2 6a n 14 2(3a n 1 2)
2 1.因此数列｛3a n2｝是首项为1,公比为£
的等比数列；（2）3a n2
n-
1
2
n1 2n N*
3
例10、等差数列｛a n｝中, a1 a1, a3,a11恰是某等比数列的前三项，求该等比数列
（2 2d）22（2 10d） d 0或3
该等比数列的公比为1或4。

a1a n
等差数列的性质：设数列｛a n｝是等差数列，公差为d
②如果m,n, p, q N ,且m n p q，则
① a n a m(n m)d, n, m*
N ；
a m a n a p a q ；特别地，m n2p，则有a m a n2a p ；③数列｛ a n b｝是公差为d的等差数列；
④a1 a2 ・・・
2 ...a2m , a2m 1 a2m 2...a
3 m ,..・(m N*)为等差数列，
a m,a m 1 a m
公差为m2d。

(5)等差数列的分类：设数列{a n}是等差数列，公差为d
当d 0，数列｛a n｝为递增数列；d 0 ,数列｛a n｝为递减数列；d 0，数列｛a n｝为
常数列，不具有单调性。

等比数列的性质：设数列｛a n｝是等比数列，公比为q
① a n a m q n m；②若m n p q,mn, p, q N*，贝U a m a. a p a q ；特别地，当
2
m n 2p时，则a m a n (a p)；③下标成等差数列的项可构成等比数列；④一等比数列截成项数相等的若干段后，各段之和(和不为零)组成一个新的等比数列；
(5)等比数列的分类
1 1 1
① a! 0,q 1，如1,2,4,8,16,..•；递增②印0,0 q 1，如1,—,一，一，…；递减
2 4 8
1 1 1
③ a1 0,q 1，如1, 2, 4, 8,...；递减④ a j 0,0 q 1，如1,,,,...；
2 4 8
1 1 1
递增⑤ q 0,如1,—,—,-,...；如1, 2,4, 8,16,...无单调性
2 4 8
⑥q 1，非零常数列；/只有非零常数列既是等比数列又是等差数列；/无单调性
综上，等比数列的奇数项同号，偶数项同号。